Exercices corrigés — Cosinus d'un angle aigu (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

8 exercices, classés par difficulté croissante.

Exercice 1 Découverte

Donner, à 0,001 près : cos(20°), cos(55°), cos(72°). Puis l'angle x (au degré près) tel que cos(x) = 0,3 ; cos(x) = 0,85.

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Correction détaillée

La calculatrice doit être en mode degrés.
cos(20°) ≈ 0,940 ; cos(55°) ≈ 0,574 ; cos(72°) ≈ 0,309. On vérifie la cohérence : plus l'angle est grand, plus le cosinus est petit.
Pour retrouver un angle à partir de son cosinus, on utilise la touche cos⁻¹ : si cos(x) = 0,3 alors x = cos⁻¹(0,3) ≈ 72,5°, soit x ≈ 73° au degré près ; si cos(x) = 0,85 alors x = cos⁻¹(0,85) ≈ 31,8°, soit x ≈ 32°.

Exercice 2 Découverte

KLM est rectangle en L, KM = 12 cm et l'angle LKM mesure 32°. Calculer KL (au mm).

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Correction détaillée

Le triangle KLM est rectangle en L : son hypoténuse est [KM]. L'angle LKM a pour sommet K ; son côté adjacent est donc [KL], le côté qui touche l'angle sans être l'hypoténuse.
Dans le triangle KLM rectangle en L : cos(LKM) = KLKM.
cos(32°) = KL12, donc KL = 12 × cos(32°).
À la calculatrice : KL ≈ 12 × 0,848 ≈ 10,18.
La longueur KL mesure environ 10,2 cm.

Exercice 3 Application

NOP est rectangle en O, NO = 7 cm et l'angle ONP mesure 58°. Calculer NP (au mm).

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Correction détaillée

Le triangle NOP est rectangle en O : son hypoténuse est [NP]. L'angle ONP a pour sommet N ; son côté adjacent est [NO].
Dans le triangle NOP rectangle en O : cos(ONP) = NONP.
cos(58°) = 7NP. Cette fois l'inconnue est au dénominateur : NP = 7cos(58°).
À la calculatrice : NP ≈ 70,530 ≈ 13,21.
La longueur NP mesure environ 13,2 cm.

Exercice 4 Application

DEF est rectangle en F, DE = 9 cm et l'angle DEF mesure 35°. Calculer EF (au mm).

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Correction détaillée

Attention au sommet de l'angle : DEF a pour sommet E, pas D. Le triangle DEF est rectangle en F, son hypoténuse est [DE], et le côté adjacent à l'angle de sommet E est [EF].
Dans le triangle DEF rectangle en F : cos(DEF) = EFDE.
cos(35°) = EF9, donc EF = 9 × cos(35°).
À la calculatrice : EF ≈ 9 × 0,819 ≈ 7,37.
La longueur EF mesure environ 7,4 cm.

Exercice 5 Maîtrise

RST est rectangle en S, RS = 4,2 cm et RT = 7 cm. Calculer l'angle SRT (au degré), puis l'angle STR.

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Le triangle RST est rectangle en S : son hypoténuse est [RT]. L'angle SRT a pour sommet R ; son côté adjacent est [RS]. On connaît ces deux longueurs, on peut donc calculer le cosinus.
Dans le triangle RST rectangle en S : cos(SRT) = RSRT = 4,27 = 0,6.
SRT = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,1°, soit environ 53° au degré près.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°) : STR = 90° − 53° = 37°.

Exercice 6 Maîtrise

ABC est rectangle en A, AB = 6 cm et BC = 10 cm. Calculer l'angle ABC (au dixième de degré), puis la longueur AC.

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Correction détaillée

Le triangle ABC est rectangle en A : son hypoténuse est [BC]. L'angle ABC a pour sommet B ; son côté adjacent est [AB].
Dans le triangle ABC rectangle en A : cos(ABC) = ABBC = 610 = 0,6.
ABC = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,13°, soit 53,1° au dixième de degré.
Pour AC, on utilise le théorème de Pythagore, qui ne demande aucun arrondi : BC² = AB² + AC², soit 100 = 36 + AC², donc AC² = 64 et AC = 8 cm.
On retrouve le triangle 6-8-10, agrandissement du triangle 3-4-5.

Exercice 7 Challenge

Une échelle de 4 m fait un angle de 65° avec le sol. À quelle distance du mur se trouve son pied (au cm) ?

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Correction détaillée

Le mur est vertical : le sol, le mur et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle (4 m). L'angle de 65° est au pied de l'échelle ; son côté adjacent est la distance d du pied au mur, le long du sol.
cos(65°) = d4, donc d = 4 × cos(65°).
À la calculatrice : d ≈ 4 × 0,4226 ≈ 1,690.
Le pied de l'échelle est à environ 1,69 m du mur.

Exercice 8 Challenge

Un câble de 25 m relie le sommet d'un mât vertical à un point du sol situé à 15 m du pied du mât. Quel angle le câble fait-il avec le sol (au degré) ? En déduire l'angle entre le câble et le mât.

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Correction détaillée

Le mât est vertical : le mât, le sol et le câble forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le câble (25 m). L'angle cherché est au sol ; son côté adjacent est la distance au pied du mât, 15 m.
cos(angle) = 1525 = 0,6.
angle = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,1°, soit environ 53° au degré près.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : l'angle entre le câble et le mât vaut 90° − 53° = 37°.

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