Cosinus d'un angle aigu — cours de 4e
Vocabulaire dans le triangle rectangle, Définition du cosinus, Calculer une longueur, Calculer un angle Lecture ≈ 4 min.
1. Vocabulaire dans le triangle rectangle
DéfinitionDans le triangle ABC rectangle en A, on considère l'angle aigu ABC (de sommet B) :
- [BC] est l'hypoténuse ;
- [AB] est le côté adjacent à l'angle ABC (il « touche » l'angle sans être l'hypoténuse) ;
- [AC] est le côté opposé à l'angle ABC.
2. Définition du cosinus
PropriétéDans tous les triangles rectangles ayant un angle aigu de même mesure, le quotient côté adjacenthypoténuse est le même (ces triangles sont des agrandissements ou réductions les uns des autres). Ce quotient ne dépend que de la mesure de l'angle.
DéfinitionDans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos(ABC) = ABBC = côté adjacent / hypoténuse et cos(ACB) = ACBC
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos(ABC) = ABBC = côté adjacent / hypoténuse et cos(ACB) = ACBC
PropriétéLe cosinus d'un angle aigu est un nombre strictement compris entre 0 et 1 (le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse). Plus l'angle est grand, plus son cosinus est petit.
Valeurs utiles : cos(0°) = 1 ; cos(60°) = 0,5 ; cos(45°) ≈ 0,707 ; cos(30°) ≈ 0,866 ; cos(90°) = 0.
Valeurs utiles : cos(0°) = 1 ; cos(60°) = 0,5 ; cos(45°) ≈ 0,707 ; cos(30°) ≈ 0,866 ; cos(90°) = 0.
Méthode (utiliser la calculatrice)Vérifier que la calculatrice est en mode degrés (affichage « D » ou « DEG »).
- Pour calculer le cosinus d'un angle : touche cos, puis la mesure de l'angle. Exemple : cos 35° ≈ 0,819.
- Pour retrouver un angle à partir de son cosinus : touche cos−1 (ou Acs / arccos, souvent via la touche « 2nde » ou « shift »). Exemple : si cos(x) = 0,6 alors x = cos−1(0,6) ≈ 53,1°.
3. Calculer une longueur
Méthode
- Rédiger : « Dans le triangle ABC rectangle en A, cos(ABC) = ABBC. »
- Remplacer par les valeurs connues (mesure de l'angle et une longueur).
- Résoudre pour trouver la longueur cherchée (produit en croix ou division).
- Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie avec l'unité.
Exemple (calcul du côté adjacent)Le triangle ABC est rectangle en A, BC = 8 cm et l'angle ABC = 40°. Calculer AB.
Dans le triangle ABC rectangle en A : cos(ABC) = ABBC.
cos(40°) = AB8, donc AB = 8 × cos(40°) ≈ 8 × 0,766 ≈ 6,1 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en A : cos(ABC) = ABBC.
cos(40°) = AB8, donc AB = 8 × cos(40°) ≈ 8 × 0,766 ≈ 6,1 cm.
Exemple (calcul de l'hypoténuse)Le triangle DEF est rectangle en E, DE = 5 cm et l'angle EDF = 25°. Calculer DF.
Dans le triangle DEF rectangle en E : cos(EDF) = DEDF.
cos(25°) = 5DF, donc DF = 5cos(25°) ≈ 50,906 ≈ 5,5 cm.
Dans le triangle DEF rectangle en E : cos(EDF) = DEDF.
cos(25°) = 5DF, donc DF = 5cos(25°) ≈ 50,906 ≈ 5,5 cm.
4. Calculer un angle
Méthode
- Rédiger l'égalité du cosinus pour l'angle cherché.
- Calculer la valeur du cosinus (quotient de deux longueurs connues).
- Utiliser la touche cos−1 pour obtenir la mesure de l'angle, arrondie comme demandé.
ExempleLe triangle GHI est rectangle en H, GH = 6 cm et GI = 9 cm. Calculer l'angle HGI arrondi au degré.
Dans le triangle GHI rectangle en H : cos(HGI) = GHGI = 69 = 23 ≈ 0,667.
HGI = cos−1(23) ≈ 48°.
On en déduit l'autre angle aigu : HIG = 90° − 48° = 42°.
Dans le triangle GHI rectangle en H : cos(HGI) = GHGI = 69 = 23 ≈ 0,667.
HGI = cos−1(23) ≈ 48°.
On en déduit l'autre angle aigu : HIG = 90° − 48° = 42°.
Exemple (problème)Une rampe d'accès a une longueur de 6 m et couvre une distance horizontale de 5,8 m. Quel angle fait-elle avec le sol ?
Le triangle formé est rectangle (hauteur verticale). cos(angle) = 5,86 ≈ 0,9667, donc angle ≈ cos−1(0,9667) ≈ 14,8°.
Le triangle formé est rectangle (hauteur verticale). cos(angle) = 5,86 ≈ 0,9667, donc angle ≈ cos−1(0,9667) ≈ 14,8°.
Propriété (lien avec Pythagore)Dans un triangle rectangle, connaissant deux longueurs, on peut calculer la troisième avec le théorème de Pythagore, puis les angles avec le cosinus. Connaissant une longueur et un angle aigu, on calcule l'autre angle (somme des angles = 180°) et les autres longueurs avec le cosinus.