4e · Fiche de révision

Cosinus d'un angle aigu — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 5 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

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À retenir

1. Vocabulaire dans le triangle rectangle

Définition

Dans le triangle ABC rectangle en A, on considère l'angle aigu ABC (de sommet B) :

[BC] est l'hypoténuse ;
[AB] est le côté adjacent à l'angle ABC (il « touche » l'angle sans être l'hypoténuse) ;
[AC] est le côté opposé à l'angle ABC.

Pour l'angle ACB (de sommet C), le côté adjacent est [AC] et le côté opposé est [AB].

2. Définition du cosinus

Propriété

Dans tous les triangles rectangles ayant un angle aigu de même mesure, le quotient côté adjacenthypoténuse est le même (ces triangles sont des agrandissements ou réductions les uns des autres). Ce quotient ne dépend que de la mesure de l'angle.

Définition

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos(ABC) = ABBC = côté adjacent / hypoténuse et cos(ACB) = ACBC

Propriété

Le cosinus d'un angle aigu est un nombre strictement compris entre 0 et 1 (le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse). Plus l'angle est grand, plus son cosinus est petit.
Valeurs utiles : cos(0°) = 1 ; cos(60°) = 0,5 ; cos(45°) ≈ 0,707 ; cos(30°) ≈ 0,866 ; cos(90°) = 0.

4. Calculer un angle

Propriété (lien avec Pythagore)

Dans un triangle rectangle, connaissant deux longueurs, on peut calculer la troisième avec le théorème de Pythagore, puis les angles avec le cosinus. Connaissant une longueur et un angle aigu, on calcule l'autre angle (somme des angles = 180°) et les autres longueurs avec le cosinus.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1Méthode (utiliser la calculatrice)

Vérifier que la calculatrice est en mode degrés (affichage « D » ou « DEG »).

Pour calculer le cosinus d'un angle : touche cos, puis la mesure de l'angle. Exemple : cos 35° ≈ 0,819.
Pour retrouver un angle à partir de son cosinus : touche cos⁻¹ (ou Acs / arccos, souvent via la touche « 2nde » ou « shift »). Exemple : si cos(x) = 0,6 alors x = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,1°.

Méthode 2

Rédiger : « Dans le triangle ABC rectangle en A, cos(ABC) = ABBC. »
Remplacer par les valeurs connues (mesure de l'angle et une longueur).
Résoudre pour trouver la longueur cherchée (produit en croix ou division).
Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie avec l'unité.

Méthode 3

Rédiger l'égalité du cosinus pour l'angle cherché.
Calculer la valeur du cosinus (quotient de deux longueurs connues).
Utiliser la touche cos⁻¹ pour obtenir la mesure de l'angle, arrondie comme demandé.

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