Exercices corrigés — Calcul littéral (4e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Montrer que pour tout nombre x, (x + 1)² − (x − 1)² = 4x.

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Correction détaillée

On développe séparément les deux carrés avec les identités remarquables.
(x + 1)² = x² + 2x + 1 et (x − 1)² = x² − 2x + 1.
(x + 1)² − (x − 1)² = x² + 2x + 1 − (x² − 2x + 1) = x² + 2x + 1 − x² + 2x − 1 = 4x. Le signe − devant la parenthèse change tous les signes.
L'égalité est vraie pour tout nombre x, puisque le calcul n'utilise aucune valeur particulière. Contrôle avec x = 5 : 6² − 4² = 36 − 16 = 20 = 4 × 5.

Exercice 8 Challenge

a) Programme A : « Choisir un nombre ; lui ajouter 3 ; multiplier le résultat par 2 ; soustraire 6. » Programme B : « Choisir un nombre ; le multiplier par 2. » Montrer que les deux programmes donnent toujours le même résultat. b) Programme C : « Choisir un nombre ; lui ajouter 4 ; multiplier le résultat par le nombre de départ ; ajouter 4. » Tester avec 5, puis montrer que le résultat est toujours le carré d'un nombre entier lorsque le nombre choisi est entier.

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Correction détaillée

a) Soit x le nombre choisi. Programme A : x, puis x + 3, puis 2(x + 3), puis 2(x + 3) − 6. En développant : 2x + 6 − 6 = 2x. Programme B : 2x.
Les deux programmes donnent 2x quel que soit x : ils ont toujours le même résultat. Tester quelques valeurs ne suffirait pas à le prouver ; le calcul littéral le démontre pour tous les nombres.
b) Avec 5 : 5 + 4 = 9 ; 9 × 5 = 45 ; 45 + 4 = 49, et 49 = 7². Avec x : x + 4, puis (x + 4) × x = x² + 4x, puis x² + 4x + 4.
Or x² + 4x + 4 = (x + 2)² d'après l'identité a² + 2ab + b² = (a + b)² avec a = x et b = 2. Si x est entier, x + 2 l'est aussi : le résultat est toujours le carré de l'entier x + 2. Pour x = 5, on retrouve (5 + 2)² = 49.

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