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Calcul littéral — cours de 4e

Expressions littérales et conventions, Réduire une expression, Développer, Développer Lecture ≈ 6 min.

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1. Expressions littérales et conventions

DéfinitionUne expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont remplacés par des lettres (appelées variables).
Conventions d'écriture : on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x = 3x ; a × b = ab ; 2 × (x + 1) = 2(x + 1) ; x × x = x2 ; 1 × x = x.
Définition
  • Une somme est le résultat d'une addition : 3x + 5 est une somme de deux termes, 3x et 5.
  • Un produit est le résultat d'une multiplication : 3(x + 5) est un produit de deux facteurs, 3 et (x + 5).
  • Dans un terme comme 7x2, le nombre 7 est le coefficient.
ExempleCalculer la valeur de A = 3x2 − 5x + 2 pour x = −2.
A = 3 × (−2)2 − 5 × (−2) + 2 = 3 × 4 + 10 + 2 = 24.

2. Réduire une expression

DéfinitionRéduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible, en regroupant les termes « de même nature » (termes en x2 ensemble, termes en x ensemble, nombres ensemble).
PropriétéPour tous nombres k, m et x : kx + mx = (k + m)x et kx − mx = (k − m)x. Exemples : 4x + 7x = 11x ; 3x2 − 8x2 = −5x2. On ne peut pas regrouper 2x et 5x2, ni 3x et 4.
ExempleRéduire B = 5x + 3 − 2x2 + 4 − 8x + 6x2.
Termes en x2 : −2x2 + 6x2 = 4x2. Termes en x : 5x − 8x = −3x. Nombres : 3 + 4 = 7.
B = 4x2 − 3x + 7.
Méthode (suppression de parenthèses)
  • Des parenthèses précédées d'un signe + peuvent être supprimées sans rien changer : A + (B − C) = A + B − C.
  • Des parenthèses précédées d'un signe − peuvent être supprimées en changeant tous les signes à l'intérieur : A − (B − C) = A − B + C.
Exemple : 3x − (2x − 7) + (x − 1) = 3x − 2x + 7 + x − 1 = 2x + 6.

3. Développer : simple distributivité

DéfinitionDévelopper une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).
Propriété (simple distributivité)Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
ExempleDévelopper et réduire :
C = 4(3x − 5) = 4 × 3x − 4 × 5 = 12x − 20.
D = −2x(x + 6) = −2x × x + (−2x) × 6 = −2x2 − 12x.
E = 3(2x + 1) − 5(x − 4) = 6x + 3 − 5x + 20 = x + 23.

4. Développer : double distributivité

Propriété (double distributivité)Pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.
MéthodePour développer (a + b)(c + d) sans erreur de signe, on écrit chaque parenthèse comme une somme de termes avec leur signe, puis on effectue les 4 produits, puis on réduit. Par exemple, (x − 3)(2x + 5) se lit (x + (−3))(2x + 5).
ExempleDévelopper et réduire F = (x + 2)(x + 7).
F = x × x + x × 7 + 2 × x + 2 × 7 = x2 + 7x + 2x + 14 = x2 + 9x + 14.
ExempleDévelopper et réduire G = (3x − 4)(2x − 1).
G = 3x × 2x + 3x × (−1) + (−4) × 2x + (−4) × (−1)
G = 6x2 − 3x − 8x + 4
G = 6x2 − 11x + 4.
ExempleDévelopper et réduire H = (2x + 1)(x − 5) − 2x(x − 3).
(2x + 1)(x − 5) = 2x2 − 10x + x − 5 = 2x2 − 9x − 5.
2x(x − 3) = 2x2 − 6x.
H = 2x2 − 9x − 5 − (2x2 − 6x) = 2x2 − 9x − 5 − 2x2 + 6x = −3x − 5.

5. Identités remarquables (première approche)

PropriétéEn développant avec la double distributivité, on obtient trois égalités très utiles, valables pour tous nombres a et b :
  • (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
  • (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2
  • (a + b)(a − b) = a2 − b2
Attention : (a + b)2 n'est pas égal à a2 + b2. Vérification avec a = 3 et b = 1 : (3 + 1)2 = 16 alors que 32 + 12 = 10.
Exemple x + 52 = x2 + 2 × x × 5 + 25 = x2 + 10x + 25.
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 × 2x × 3 + 9 = 4x2 − 12x + 9.
(x + 4)(x − 4) = x2 − 16.
Calcul mental : 1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 ; 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.

6. Factoriser avec un facteur commun

DéfinitionFactoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est l'opération inverse du développement.
PropriétéPour tous nombres k, a et b : ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b). Le nombre k est le facteur commun.
MéthodePour factoriser :
  1. repérer un facteur commun à tous les termes (un nombre, une lettre, une parenthèse ou un produit de ceux-ci) ;
  2. écrire chaque terme sous la forme « facteur commun × quelque chose » ;
  3. écrire le facteur commun devant une parenthèse contenant les « quelque chose ».
On vérifie en développant le résultat obtenu.
ExempleFactoriser :
I = 6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5 = 3(2x + 5).
J = x2 − 7x = x × x − x × 7 = x(x − 7).
K = 8x2 + 12x = 4x × 2x + 4x × 3 = 4x(2x + 3).
ExempleFactoriser L = (x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 4).
Le facteur commun est (x + 2).
L = (x + 2)[(3x − 1) + (x + 4)] = (x + 2)(3x − 1 + x + 4) = (x + 2)(4x + 3).

7. Démontrer avec le calcul littéral

ExempleProgramme de calcul : « Choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par 2, soustraire le double du nombre de départ. » Montrer que le résultat est toujours 6.
Soit x le nombre choisi. On obtient successivement : x + 3, puis 2(x + 3), puis 2(x + 3) − 2x.
2(x + 3) − 2x = 2x + 6 − 2x = 6. Le résultat vaut toujours 6, quel que soit le nombre de départ.
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