Calcul littéral — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 10 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Expressions littérales et conventions
Définition
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont remplacés par des lettres (appelées variables).
Conventions d'écriture : on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x = 3x ; a × b = ab ; 2 × (x + 1) = 2(x + 1) ; x × x = x2 ; 1 × x = x.
Conventions d'écriture : on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x = 3x ; a × b = ab ; 2 × (x + 1) = 2(x + 1) ; x × x = x2 ; 1 × x = x.
Définition
- Une somme est le résultat d'une addition : 3x + 5 est une somme de deux termes, 3x et 5.
- Un produit est le résultat d'une multiplication : 3(x + 5) est un produit de deux facteurs, 3 et (x + 5).
- Dans un terme comme 7x2, le nombre 7 est le coefficient.
2. Réduire une expression
Définition
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible, en regroupant les termes « de même nature » (termes en x2 ensemble, termes en x ensemble, nombres ensemble).
Propriété
Pour tous nombres k, m et x : kx + mx = (k + m)x et kx − mx = (k − m)x. Exemples : 4x + 7x = 11x ; 3x2 − 8x2 = −5x2. On ne peut pas regrouper 2x et 5x2, ni 3x et 4.
3. Développer : simple distributivité
Définition
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).
Propriété (simple distributivité)
Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
4. Développer : double distributivité
Propriété (double distributivité)
Pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.
5. Identités remarquables (première approche)
Propriété
En développant avec la double distributivité, on obtient trois égalités très utiles, valables pour tous nombres a et b :
- (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
- (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2
- (a + b)(a − b) = a2 − b2
6. Factoriser avec un facteur commun
Définition
Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. C'est l'opération inverse du développement.
Propriété
Pour tous nombres k, a et b : ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b). Le nombre k est le facteur commun.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode (suppression de parenthèses)
- Des parenthèses précédées d'un signe + peuvent être supprimées sans rien changer : A + (B − C) = A + B − C.
- Des parenthèses précédées d'un signe − peuvent être supprimées en changeant tous les signes à l'intérieur : A − (B − C) = A − B + C.
Méthode 2
Pour développer (a + b)(c + d) sans erreur de signe, on écrit chaque parenthèse comme une somme de termes avec leur signe, puis on effectue les 4 produits, puis on réduit. Par exemple, (x − 3)(2x + 5) se lit (x + (−3))(2x + 5).
Méthode 3
Pour factoriser :
- repérer un facteur commun à tous les termes (un nombre, une lettre, une parenthèse ou un produit de ceux-ci) ;
- écrire chaque terme sous la forme « facteur commun × quelque chose » ;
- écrire le facteur commun devant une parenthèse contenant les « quelque chose ».
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés