Exercices corrigés — Calcul littéral (4e)

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en x², les termes en x, puis les nombres. On repère chaque terme avec son signe.
Termes en x² : 2x² − x² = x² (car x² = 1x²). Termes en x : 7x − 9x = −2x. Nombres : −3 + 5 = 2.
M = x² − 2x + 2.
Vérification pour x = 1 : expression de départ 7 − 3 + 2 − 9 + 5 − 1 = 1 ; expression réduite 1 − 2 + 2 = 1. Les deux valeurs coïncident.

a) On remplace x par la valeur en rétablissant les signes ×, et l'on respecte les priorités (puissance, puis produits, puis sommes).
Pour x = 3 : B = 2 × 3² − 3 × 3 + 1 = 2 × 9 − 9 + 1 = 18 − 9 + 1 = 10. Pour x = −1 : B = 2 × (−1)² − 3 × (−1) + 1 = 2 × 1 + 3 + 1 = 6. Pour x = 0,5 : B = 2 × 0,25 − 1,5 + 1 = 0,5 − 1,5 + 1 = 0.
b) Des parenthèses précédées d'un signe − se suppriment en changeant tous les signes à l'intérieur ; précédées d'un signe +, elles se suppriment sans rien changer.
C = 4x − 3x + 2 + x − 5 = (4x − 3x + x) + (2 − 5) = 2x − 3.

Simple distributivité : k(a − b) = ka − kb. On développe chaque produit séparément, en gardant le signe qui le précède.
5(2x − 3) = 10x − 15. 3(4 − x) = 12 − 3x, et ce produit est précédé d'un signe − : −(12 − 3x) = −12 + 3x.
N = 10x − 15 − 12 + 3x = 13x − 27.
Vérification pour x = 2 : 5 × 1 − 3 × 2 = 5 − 6 = −1, et 13 × 2 − 27 = 26 − 27 = −1.

P : double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. On lit (x + 3)(2x + (−5)).
P = x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5) = 2x² − 5x + 6x − 15 = 2x² + x − 15.
Q = (3x − 2)² = (3x − 2)(3x − 2) = 9x² − 6x − 6x + 4 = 9x² − 12x + 4. On retrouve l'identité (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = 3x et b = 2 : 9x² − 2 × 3x × 2 + 4.
Erreur à éviter : (3x − 2)² n'est pas 9x² − 4 ; le double produit −12x ne doit pas être oublié.

a) (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = x, b = 6 : (x + 6)² = x² + 2 × x × 6 + 36 = x² + 12x + 36.
(a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = 3x, b = 1 : (3x − 1)² = 9x² − 2 × 3x × 1 + 1 = 9x² − 6x + 1.
(a + b)(a − b) = a² − b² avec a = 2x, b = 5 : (2x + 5)(2x − 5) = 4x² − 25.
b) 102² = (100 + 2)² = 10 000 + 2 × 100 × 2 + 4 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. 98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9 996.

Factoriser, c'est transformer une somme en produit en repérant un facteur commun : ka + kb = k(a + b).
R = 10x − 25 = 5 × 2x − 5 × 5 = 5(2x − 5). S = 3x² + x = x × 3x + x × 1 = x(3x + 1) ; ne pas oublier le 1.
T : le facteur commun est la parenthèse (2x + 1). T = (2x + 1)[(x − 3) − (5x + 2)] = (2x + 1)(x − 3 − 5x − 2) = (2x + 1)(−4x − 5).
Vérification de T pour x = 0 : expression de départ 1 × (−3) − 1 × 2 = −5 ; forme factorisée 1 × (−5) = −5. On peut aussi écrire T = −(2x + 1)(4x + 5).

On développe séparément les deux carrés avec les identités remarquables.
(x + 1)² = x² + 2x + 1 et (x − 1)² = x² − 2x + 1.
(x + 1)² − (x − 1)² = x² + 2x + 1 − (x² − 2x + 1) = x² + 2x + 1 − x² + 2x − 1 = 4x. Le signe − devant la parenthèse change tous les signes.
L'égalité est vraie pour tout nombre x, puisque le calcul n'utilise aucune valeur particulière. Contrôle avec x = 5 : 6² − 4² = 36 − 16 = 20 = 4 × 5.

a) Soit x le nombre choisi. Programme A : x, puis x + 3, puis 2(x + 3), puis 2(x + 3) − 6. En développant : 2x + 6 − 6 = 2x. Programme B : 2x.
Les deux programmes donnent 2x quel que soit x : ils ont toujours le même résultat. Tester quelques valeurs ne suffirait pas à le prouver ; le calcul littéral le démontre pour tous les nombres.
b) Avec 5 : 5 + 4 = 9 ; 9 × 5 = 45 ; 45 + 4 = 49, et 49 = 7². Avec x : x + 4, puis (x + 4) × x = x² + 4x, puis x² + 4x + 4.
Or x² + 4x + 4 = (x + 2)² d'après l'identité a² + 2ab + b² = (a + b)² avec a = x et b = 2. Si x est entier, x + 2 l'est aussi : le résultat est toujours le carré de l'entier x + 2. Pour x = 5, on retrouve (5 + 2)² = 49.