Exercices corrigés — Trigonométrie dans le triangle rectangle (3e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Maîtrise ». Voir les 8 exercices.

Exercice 5 Maîtrise

Un pan de toit est incliné de 30° par rapport à l'horizontale et couvre une largeur horizontale de 4 m. Calculer la longueur du pan de toit, puis la hauteur qu'il gagne (au dm près).

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Correction détaillée

Le pan de toit est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'angle de 30° est au bas du toit. La largeur horizontale (4 m) est le côté adjacent à cet angle ; la hauteur gagnée est le côté opposé.
Longueur L du pan : cos 30° = 4L, donc L = 4cos 30° ≈ 40,8660 ≈ 4,62. Le pan mesure environ 4,6 m.
Hauteur h gagnée : tan 30° = h4, donc h = 4 × tan 30° ≈ 4 × 0,5774 ≈ 2,31. Le toit gagne environ 2,3 m de hauteur.
On peut vérifier avec la valeur exacte cos 30° = √32 : L = 8√3 ≈ 4,62.

Exercice 6 Maîtrise

Sachant que cos α = 0,28, calculer sin α puis tan α (valeurs exactes puis arrondies au centième).

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Correction détaillée

On utilise la relation cos² α + sin² α = 1, valable pour tout angle aigu α.
sin² α = 1 − cos² α = 1 − 0,28² = 1 − 0,0784 = 0,9216.
Comme α est aigu, sin α est positif : sin α = √0,9216 = 0,96, car 0,96² = 0,9216. C'est une valeur exacte.
tan α = sin α / cos α = 0,960,28. Pour la valeur exacte, on écrit cette fraction avec des entiers : 0,960,28 = 9628 = 247 (en divisant numérateur et dénominateur par 4). Arrondi au centième : tan α ≈ 3,43.

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