Exercices corrigés — Trigonométrie dans le triangle rectangle (3e)

Le triangle ABC est rectangle en A : son hypoténuse est [BC]. Par rapport à l'angle AB̂C, de sommet B, le côté [AB] est adjacent et le côté [AC] est opposé.
Pour AB, on relie l'adjacent et l'hypoténuse, donc on utilise le cosinus : cos AB̂C = ABBC, soit cos 40° = AB10, d'où AB = 10 × cos 40° ≈ 10 × 0,7660 ≈ 7,66. AB mesure environ 7,7 cm.
Pour AC, on relie l'opposé et l'hypoténuse, donc on utilise le sinus : sin AB̂C = ACBC, soit sin 40° = AC10, d'où AC = 10 × sin 40° ≈ 10 × 0,6428 ≈ 6,43. AC mesure environ 6,4 cm.
Vérification par Pythagore : 7,7² + 6,4² = 59,29 + 40,96 = 100,25 ≈ 10², cohérent aux arrondis près.

Le triangle GHI est rectangle en H : son hypoténuse est [GI]. L'angle connu, GÎH, a pour sommet I : le côté [HI] lui est adjacent et le côté [GH] lui est opposé.
Pour GH (opposé) avec l'hypoténuse : sin GÎH = GHGI, soit sin 28° = GH9, d'où GH = 9 × sin 28° ≈ 9 × 0,4695 ≈ 4,23. GH mesure environ 4,2 cm.
Pour HI (adjacent) avec l'hypoténuse : cos GÎH = HIGI, soit cos 28° = HI9, d'où HI = 9 × cos 28° ≈ 9 × 0,8829 ≈ 7,95. HI mesure environ 7,9 cm.

Le triangle MNP est rectangle en N. L'angle cherché, NM̂P, a pour sommet M : [MN] est son côté adjacent (7 cm) et [NP] son côté opposé (4 cm). On connaît l'opposé et l'adjacent, donc on utilise la tangente.
tan NM̂P = NPMN = 47.
NM̂P = tan⁻¹(47) ≈ 29,7°.
L'angle NM̂P mesure environ 30° au degré près.

Le mur est vertical : le sol, le mur et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle (5 m). L'angle α cherché est au pied de l'échelle ; son côté adjacent est la distance au mur, 1,5 m.
cos α = 1,55 = 0,3, donc α = cos⁻¹(0,3) ≈ 72,5°.
Pour la hauteur h, on peut éviter tout arrondi en utilisant le théorème de Pythagore : 5² = 1,5² + h², donc h² = 25 − 2,25 = 22,75 et h = √22,75 ≈ 4,77.
On peut aussi écrire sin α = h5, soit h = 5 × sin 72,5° ≈ 4,77 : les deux méthodes concordent. L'échelle touche le mur à environ 4,77 m de hauteur.

Le pan de toit est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'angle de 30° est au bas du toit. La largeur horizontale (4 m) est le côté adjacent à cet angle ; la hauteur gagnée est le côté opposé.
Longueur L du pan : cos 30° = 4L, donc L = 4cos 30° ≈ 40,8660 ≈ 4,62. Le pan mesure environ 4,6 m.
Hauteur h gagnée : tan 30° = h4, donc h = 4 × tan 30° ≈ 4 × 0,5774 ≈ 2,31. Le toit gagne environ 2,3 m de hauteur.
On peut vérifier avec la valeur exacte cos 30° = √32 : L = 8√3 ≈ 4,62.

On utilise la relation cos² α + sin² α = 1, valable pour tout angle aigu α.
sin² α = 1 − cos² α = 1 − 0,28² = 1 − 0,0784 = 0,9216.
Comme α est aigu, sin α est positif : sin α = √0,9216 = 0,96, car 0,96² = 0,9216. C'est une valeur exacte.
tan α = sin α / cos α = 0,960,28. Pour la valeur exacte, on écrit cette fraction avec des entiers : 0,960,28 = 9628 = 247 (en divisant numérateur et dénominateur par 4). Arrondi au centième : tan α ≈ 3,43.

Le triangle ABC est rectangle en A : son hypoténuse est [BC]. Par rapport à l'angle AB̂C, le côté opposé est [AC] et le côté adjacent est [AB].
sin AB̂C = ACBC, donc AC = BC × sin AB̂C = 15 × 0,6 = 9 cm.
Première méthode pour AB, avec la relation cos² + sin² = 1 : cos² AB̂C = 1 − 0,36 = 0,64, donc cos AB̂C = 0,8, et AB = BC × cos AB̂C = 15 × 0,8 = 12 cm.
Seconde méthode, avec le théorème de Pythagore : AB² = BC² − AC² = 225 − 81 = 144, donc AB = √144 = 12 cm.
Les deux méthodes donnent AB = 12 cm : c'est le triangle 9-12-15, agrandissement du triangle 3-4-5.

Le phare est vertical : le pied du phare, son sommet et le bateau forment un triangle rectangle. L'angle de 12° est au niveau du bateau ; la hauteur du phare (45 m) est le côté opposé à cet angle, et la distance d cherchée est le côté adjacent.
On connaît l'opposé et on cherche l'adjacent : on utilise la tangente. tan 12° = 45d, donc d = 45tan 12°.
À la calculatrice : d ≈ 450,2126 ≈ 211,7.
Le bateau est à environ 212 m du pied du phare.