Trigonométrie dans le triangle rectangle — cours de 3e
Vocabulaire du triangle rectangle, Cosinus, sinus, tangente, Calculer une longueur, Calculer un angle Lecture ≈ 4 min.
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Définition
Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu AB̂C (au sommet B) :
– [BC] est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) ;
– [AB] est le côté adjacent à l'angle AB̂C (il « touche » l'angle sans être l'hypoténuse) ;
– [AC] est le côté opposé à l'angle AB̂C (il est « en face » de l'angle).
Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu AB̂C (au sommet B) :
– [BC] est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) ;
– [AB] est le côté adjacent à l'angle AB̂C (il « touche » l'angle sans être l'hypoténuse) ;
– [AC] est le côté opposé à l'angle AB̂C (il est « en face » de l'angle).
C
|\
| \
opposé | \ hypoténuse
| \
|____\
A B
adjacent (à l'angle en B)
2. Cosinus, sinus, tangente
Définition
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cos α = côté adjacent / hypoténuse
sin α = côté opposé / hypoténuse
tan α = côté opposé / côté adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH – CAH – TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent).
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cos α = côté adjacent / hypoténuse
sin α = côté opposé / hypoténuse
tan α = côté opposé / côté adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH – CAH – TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent).
Exemple
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos AB̂C = ABBC ; sin AB̂C = ACBC ; tan AB̂C = ACAB.
Pour l'autre angle aigu AĈB, les rôles s'échangent : cos AĈB = ACBC ; sin AĈB = ABBC ; tan AĈB = ABAC.
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cos AB̂C = ABBC ; sin AB̂C = ACBC ; tan AB̂C = ACAB.
Pour l'autre angle aigu AĈB, les rôles s'échangent : cos AĈB = ACBC ; sin AĈB = ABBC ; tan AĈB = ABAC.
Propriété
– Pour tout angle aigu α : 0 < cos α < 1 et 0 < sin α < 1 (car un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse). La tangente peut prendre n'importe quelle valeur positive.
– cos2 α + sin2 α = 1 (notation : cos2 α = (cos α)2).
– tan α = sin α / cos α.
– Si α et β sont les deux angles aigus d'un triangle rectangle (α + β = 90°), alors cos α = sin β et sin α = cos β.
– Pour tout angle aigu α : 0 < cos α < 1 et 0 < sin α < 1 (car un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse). La tangente peut prendre n'importe quelle valeur positive.
– cos2 α + sin2 α = 1 (notation : cos2 α = (cos α)2).
– tan α = sin α / cos α.
– Si α et β sont les deux angles aigus d'un triangle rectangle (α + β = 90°), alors cos α = sin β et sin α = cos β.
ExempleExemple – Justification de cos2 + sin2 = 1
Dans ABC rectangle en A, avec α = AB̂C : cos2 α + sin2 α = (ABBC)2 + (ACBC)2 = AB2 + AC2BC2 = BC2BC2 = 1, d'après le théorème de Pythagore.
Dans ABC rectangle en A, avec α = AB̂C : cos2 α + sin2 α = (ABBC)2 + (ACBC)2 = AB2 + AC2BC2 = BC2BC2 = 1, d'après le théorème de Pythagore.
Exemple résolu – Utiliser la relation
Sachant que sin α = 0,6, calculer cos α et tan α sans calculer α.
cos2 α = 1 − sin2 α = 1 − 0,36 = 0,64, donc cos α = √0,64 = 0,8 (valeur positive).
tan α = sin α / cos α = 0,60,8 = 0,75.
Sachant que sin α = 0,6, calculer cos α et tan α sans calculer α.
cos2 α = 1 − sin2 α = 1 − 0,36 = 0,64, donc cos α = √0,64 = 0,8 (valeur positive).
tan α = sin α / cos α = 0,60,8 = 0,75.
Propriété – Valeurs remarquables
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| cos | √32 ≈ 0,866 | √22 ≈ 0,707 | 12 |
| sin | 12 | √22 ≈ 0,707 | √32 ≈ 0,866 |
| tan | √33 ≈ 0,577 | 1 | √3 ≈ 1,732 |
3. Calculer une longueur
Méthode – Calculer une longueur
1. Repérer le triangle rectangle et l'angle aigu connu.
2. Identifier le côté connu et le côté cherché par rapport à cet angle (adjacent, opposé, hypoténuse).
3. Choisir la formule qui relie ces deux côtés (SOH CAH TOA).
4. Écrire l'égalité, remplacer par les valeurs, résoudre (produit en croix).
5. Calculer avec la calculatrice en mode degrés et arrondir selon la consigne.
1. Repérer le triangle rectangle et l'angle aigu connu.
2. Identifier le côté connu et le côté cherché par rapport à cet angle (adjacent, opposé, hypoténuse).
3. Choisir la formule qui relie ces deux côtés (SOH CAH TOA).
4. Écrire l'égalité, remplacer par les valeurs, résoudre (produit en croix).
5. Calculer avec la calculatrice en mode degrés et arrondir selon la consigne.
Exemple résolu
Triangle DEF rectangle en E, ED̂F = 35°, DF = 8 cm. Calculer EF (arrondi au mm).
Par rapport à l'angle en D : DF est l'hypoténuse, EF est le côté opposé. On utilise le sinus :
sin ED̂F = EFDF ⇒ sin 35° = EF8 ⇒ EF = 8 × sin 35° ≈ 8 × 0,5736 ≈ 4,6 cm.
Triangle DEF rectangle en E, ED̂F = 35°, DF = 8 cm. Calculer EF (arrondi au mm).
Par rapport à l'angle en D : DF est l'hypoténuse, EF est le côté opposé. On utilise le sinus :
sin ED̂F = EFDF ⇒ sin 35° = EF8 ⇒ EF = 8 × sin 35° ≈ 8 × 0,5736 ≈ 4,6 cm.
Exemple résolu
Triangle KLM rectangle en K, KL̂M = 52°, KL = 6 cm. Calculer KM puis LM (arrondis au dixième).
KL est adjacent à l'angle en L, KM est opposé : tan 52° = KMKL ⇒ KM = 6 × tan 52° ≈ 6 × 1,2799 ≈ 7,7 cm.
Pour LM (hypoténuse) : cos 52° = KLLM ⇒ LM = 6cos 52° ≈ 60,6157 ≈ 9,7 cm.
Vérification par Pythagore : 62 + 7,72 = 36 + 59,3 = 95,3 et 9,72 = 94,1 (cohérent aux arrondis près).
Triangle KLM rectangle en K, KL̂M = 52°, KL = 6 cm. Calculer KM puis LM (arrondis au dixième).
KL est adjacent à l'angle en L, KM est opposé : tan 52° = KMKL ⇒ KM = 6 × tan 52° ≈ 6 × 1,2799 ≈ 7,7 cm.
Pour LM (hypoténuse) : cos 52° = KLLM ⇒ LM = 6cos 52° ≈ 60,6157 ≈ 9,7 cm.
Vérification par Pythagore : 62 + 7,72 = 36 + 59,3 = 95,3 et 9,72 = 94,1 (cohérent aux arrondis près).
4. Calculer un angle
Méthode – Calculer la mesure d'un angle
1. Identifier les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
2. Choisir la formule correspondante et calculer le rapport (cos, sin ou tan de l'angle).
3. Utiliser la touche cos−1 (ou arccos, acos), sin−1 ou tan−1 de la calculatrice (en mode degrés) pour obtenir l'angle.
1. Identifier les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
2. Choisir la formule correspondante et calculer le rapport (cos, sin ou tan de l'angle).
3. Utiliser la touche cos−1 (ou arccos, acos), sin−1 ou tan−1 de la calculatrice (en mode degrés) pour obtenir l'angle.
Exemple résolu
Triangle RST rectangle en S, RS = 5 cm, RT = 13 cm. Calculer SR̂T (arrondi au degré).
RS est adjacent à l'angle en R, RT est l'hypoténuse : cos SR̂T = RSRT = 513.
SR̂T = cos−1(513) ≈ 67°.
On en déduit ST̂R ≈ 90 − 67 = 23°.
Triangle RST rectangle en S, RS = 5 cm, RT = 13 cm. Calculer SR̂T (arrondi au degré).
RS est adjacent à l'angle en R, RT est l'hypoténuse : cos SR̂T = RSRT = 513.
SR̂T = cos−1(513) ≈ 67°.
On en déduit ST̂R ≈ 90 − 67 = 23°.
Exemple résolu (type brevet) – Pente d'une route
Une route monte de 45 m sur une distance horizontale de 600 m. Quel est l'angle d'inclinaison de la route ? Quelle distance parcourt une voiture le long de la route ?
Dans le triangle rectangle formé : côté opposé à l'angle = 45 m, côté adjacent = 600 m.
tan α = 45600 = 0,075 ⇒ α = tan−1(0,075) ≈ 4,3°.
Distance le long de la route (hypoténuse) : par Pythagore, √6002 + 452 = √360 000 + 2 025 = √362 025 ≈ 601,7 m.
Une route monte de 45 m sur une distance horizontale de 600 m. Quel est l'angle d'inclinaison de la route ? Quelle distance parcourt une voiture le long de la route ?
Dans le triangle rectangle formé : côté opposé à l'angle = 45 m, côté adjacent = 600 m.
tan α = 45600 = 0,075 ⇒ α = tan−1(0,075) ≈ 4,3°.
Distance le long de la route (hypoténuse) : par Pythagore, √6002 + 452 = √360 000 + 2 025 = √362 025 ≈ 601,7 m.