Trigonométrie dans le triangle rectangle — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 4 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Définition
Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l'angle aigu AB̂C (au sommet B) :
– [BC] est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) ;
– [AB] est le côté adjacent à l'angle AB̂C (il « touche » l'angle sans être l'hypoténuse) ;
– [AC] est le côté opposé à l'angle AB̂C (il est « en face » de l'angle).
– [BC] est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) ;
– [AB] est le côté adjacent à l'angle AB̂C (il « touche » l'angle sans être l'hypoténuse) ;
– [AC] est le côté opposé à l'angle AB̂C (il est « en face » de l'angle).
2. Cosinus, sinus, tangente
Définition
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
cos α = côté adjacent / hypoténuse
sin α = côté opposé / hypoténuse
tan α = côté opposé / côté adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH – CAH – TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent).
cos α = côté adjacent / hypoténuse
sin α = côté opposé / hypoténuse
tan α = côté opposé / côté adjacent
Moyen mnémotechnique : SOH – CAH – TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent).
Propriété
– Pour tout angle aigu α : 0 < cos α < 1 et 0 < sin α < 1 (car un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse). La tangente peut prendre n'importe quelle valeur positive.
– cos2 α + sin2 α = 1 (notation : cos2 α = (cos α)2).
– tan α = sin α / cos α.
– Si α et β sont les deux angles aigus d'un triangle rectangle (α + β = 90°), alors cos α = sin β et sin α = cos β.
– cos2 α + sin2 α = 1 (notation : cos2 α = (cos α)2).
– tan α = sin α / cos α.
– Si α et β sont les deux angles aigus d'un triangle rectangle (α + β = 90°), alors cos α = sin β et sin α = cos β.
PropriétéValeurs remarquables
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| cos | √32 ≈ 0,866 | √22 ≈ 0,707 | 12 |
| sin | 12 | √22 ≈ 0,707 | √32 ≈ 0,866 |
| tan | √33 ≈ 0,577 | 1 | √3 ≈ 1,732 |
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Calculer une longueur
1. Repérer le triangle rectangle et l'angle aigu connu.
2. Identifier le côté connu et le côté cherché par rapport à cet angle (adjacent, opposé, hypoténuse).
3. Choisir la formule qui relie ces deux côtés (SOH CAH TOA).
4. Écrire l'égalité, remplacer par les valeurs, résoudre (produit en croix).
5. Calculer avec la calculatrice en mode degrés et arrondir selon la consigne.
2. Identifier le côté connu et le côté cherché par rapport à cet angle (adjacent, opposé, hypoténuse).
3. Choisir la formule qui relie ces deux côtés (SOH CAH TOA).
4. Écrire l'égalité, remplacer par les valeurs, résoudre (produit en croix).
5. Calculer avec la calculatrice en mode degrés et arrondir selon la consigne.
Méthode 2Calculer la mesure d'un angle
1. Identifier les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché.
2. Choisir la formule correspondante et calculer le rapport (cos, sin ou tan de l'angle).
3. Utiliser la touche cos−1 (ou arccos, acos), sin−1 ou tan−1 de la calculatrice (en mode degrés) pour obtenir l'angle.
2. Choisir la formule correspondante et calculer le rapport (cos, sin ou tan de l'angle).
3. Utiliser la touche cos−1 (ou arccos, acos), sin−1 ou tan−1 de la calculatrice (en mode degrés) pour obtenir l'angle.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés