Exercices corrigés — Trigonométrie dans le triangle rectangle (3e)

Le triangle ABC est rectangle en A : son hypoténuse est [BC]. Par rapport à l'angle AB̂C, le côté opposé est [AC] et le côté adjacent est [AB].
sin AB̂C = ACBC, donc AC = BC × sin AB̂C = 15 × 0,6 = 9 cm.
Première méthode pour AB, avec la relation cos² + sin² = 1 : cos² AB̂C = 1 − 0,36 = 0,64, donc cos AB̂C = 0,8, et AB = BC × cos AB̂C = 15 × 0,8 = 12 cm.
Seconde méthode, avec le théorème de Pythagore : AB² = BC² − AC² = 225 − 81 = 144, donc AB = √144 = 12 cm.
Les deux méthodes donnent AB = 12 cm : c'est le triangle 9-12-15, agrandissement du triangle 3-4-5.

Le phare est vertical : le pied du phare, son sommet et le bateau forment un triangle rectangle. L'angle de 12° est au niveau du bateau ; la hauteur du phare (45 m) est le côté opposé à cet angle, et la distance d cherchée est le côté adjacent.
On connaît l'opposé et on cherche l'adjacent : on utilise la tangente. tan 12° = 45d, donc d = 45tan 12°.
À la calculatrice : d ≈ 450,2126 ≈ 211,7.
Le bateau est à environ 212 m du pied du phare.