Exercices corrigés — Théorème de Thalès et réciproque (3e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC). AM = 2 cm, MB = 3 cm, AN = 2,4 cm, BC = 8 cm. Calculer NC et MN.

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Correction détaillée

Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et (MN) // (BC) : c'est une configuration de Thalès de sommet A. D'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC.
On calcule d'abord AB = AM + MB = 2 + 3 = 5 cm, puis le rapport connu : AMAB = 25.
Pour AC : 25 = 2,4AC, donc AC = 2,4 × 52 = 122 = 6 cm. On en déduit NC = AC − AN = 6 − 2,4 = 3,6 cm.
Pour MN : 25 = MN8, donc MN = 2 × 85 = 165 = 3,2 cm.

Exercice 2 Découverte

Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec A, O, B alignés dans cet ordre et C, O, D alignés dans cet ordre. (AC) // (BD). OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 5 cm, AC = 3,6 cm. Calculer OD et BD.

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Correction détaillée

Les points A, O, B sont alignés, ainsi que C, O, D, et (AC) // (BD) : configuration papillon de sommet O. D'après le théorème de Thalès : OAOB = OCOD = ACBD.
Le rapport connu est OAOB = 46 = 23.
Pour OD : 23 = 5OD, donc OD = 5 × 32 = 152 = 7,5 cm.
Pour BD : 23 = 3,6BD, donc BD = 3,6 × 32 = 10,82 = 5,4 cm.
Vérification : 57,5 et 3,65,4 valent bien 23 tous les deux.

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