Théorème de Thalès et réciproque — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 5 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Les deux configurations
DéfinitionConfigurations de Thalès
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, avec B et M sur la première, C et N sur la seconde.
– Configuration « triangle » (ou « classique ») : M est sur le segment [AB] et N sur [AC] ; le triangle AMN est « emboîté » dans le triangle ABC.
– Configuration « papillon » (ou « croisée ») : M et B sont de part et d'autre de A, ainsi que N et C ; les deux triangles se touchent par le sommet A.
– Configuration « triangle » (ou « classique ») : M est sur le segment [AB] et N sur [AC] ; le triangle AMN est « emboîté » dans le triangle ABC.
– Configuration « papillon » (ou « croisée ») : M et B sont de part et d'autre de A, ainsi que N et C ; les deux triangles se touchent par le sommet A.
2. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC
3. Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, telles que les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part soient alignés dans le même ordre.
Si AMAB = ANAC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Si AMAB = ANAC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
4. Agrandissement et réduction
Définition
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k > 0, appelé rapport (ou coefficient) d'agrandissement (si k > 1) ou de réduction (si 0 < k < 1).
Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC de rapport k = AMAB.
Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC de rapport k = AMAB.
Propriété
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
– les longueurs sont multipliées par k ;
– les angles sont conservés (la forme est conservée) ;
– les aires sont multipliées par k2 ;
– les volumes sont multipliés par k3.
– les longueurs sont multipliées par k ;
– les angles sont conservés (la forme est conservée) ;
– les aires sont multipliées par k2 ;
– les volumes sont multipliés par k3.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
1. Identifier la configuration : citer le point d'intersection, les points alignés, et les droites parallèles (avec justification si nécessaire).
2. Écrire les rapports du théorème de Thalès (toujours en partant du sommet commun A).
3. Remplacer par les valeurs connues.
4. Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur cherchée.
2. Écrire les rapports du théorème de Thalès (toujours en partant du sommet commun A).
3. Remplacer par les valeurs connues.
4. Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur cherchée.
Méthode 2Démontrer que deux droites sont parallèles
1. Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites.
2. Calculer séparément les deux rapports AMAB et ANAC (en simplifiant les fractions ou en donnant la valeur décimale exacte).
3. Si les rapports sont égaux, conclure par la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, conclure que les droites ne sont pas parallèles (par la contraposée du théorème de Thalès).
2. Calculer séparément les deux rapports AMAB et ANAC (en simplifiant les fractions ou en donnant la valeur décimale exacte).
3. Si les rapports sont égaux, conclure par la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, conclure que les droites ne sont pas parallèles (par la contraposée du théorème de Thalès).
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés