Exercices corrigés — Théorème de Thalès et réciproque (3e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

8 exercices, classés par difficulté croissante.

Exercice 1 Découverte

Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) // (BC). AM = 2 cm, MB = 3 cm, AN = 2,4 cm, BC = 8 cm. Calculer NC et MN.

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Correction détaillée

Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et (MN) // (BC) : c'est une configuration de Thalès de sommet A. D'après le théorème de Thalès : AMAB = ANAC = MNBC.
On calcule d'abord AB = AM + MB = 2 + 3 = 5 cm, puis le rapport connu : AMAB = 25.
Pour AC : 25 = 2,4AC, donc AC = 2,4 × 52 = 122 = 6 cm. On en déduit NC = AC − AN = 6 − 2,4 = 3,6 cm.
Pour MN : 25 = MN8, donc MN = 2 × 85 = 165 = 3,2 cm.

Exercice 2 Découverte

Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec A, O, B alignés dans cet ordre et C, O, D alignés dans cet ordre. (AC) // (BD). OA = 4 cm, OB = 6 cm, OC = 5 cm, AC = 3,6 cm. Calculer OD et BD.

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Correction détaillée

Les points A, O, B sont alignés, ainsi que C, O, D, et (AC) // (BD) : configuration papillon de sommet O. D'après le théorème de Thalès : OAOB = OCOD = ACBD.
Le rapport connu est OAOB = 46 = 23.
Pour OD : 23 = 5OD, donc OD = 5 × 32 = 152 = 7,5 cm.
Pour BD : 23 = 3,6BD, donc BD = 3,6 × 32 = 10,82 = 5,4 cm.
Vérification : 57,5 et 3,65,4 valent bien 23 tous les deux.

Exercice 3 Application

Les droites (EF) et (GH) se coupent en O. E, O, F alignés ; G, O, H alignés. OE = 3, OF = 4,5, OG = 2, OH = 3. (EG) et (FH) sont-elles parallèles ?

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Les points E, O, F sont alignés dans cet ordre, ainsi que G, O, H : configuration papillon de sommet O, où E et G sont du même côté de O, F et H de l'autre.
On calcule séparément les deux rapports partant de O : OEOF = 34,5 = 3045 = 23 et OGOH = 23.
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EG) et (FH) sont parallèles.

Exercice 4 Application

A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C. AM = 3 cm, AB = 8 cm, AN = 4 cm, AC = 10 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

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Correction détaillée

On calcule séparément les deux rapports partant de A : AMAB = 38 = 0,375 et ANAC = 410 = 0,4.
Ces rapports sont différents. Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait AMAB = ANAC ; or ce n'est pas le cas.
Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles : c'est la contraposée du théorème de Thalès.

Exercice 5 Maîtrise

Un bâton vertical de 1,2 m projette une ombre de 0,8 m. Au même instant, l'ombre d'un arbre mesure 6 m. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

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Correction détaillée

Les rayons du soleil sont parallèles : le bâton et son ombre forment un triangle rectangle, l'arbre et son ombre en forment un autre, et les rayons qui joignent les sommets aux bouts des ombres sont parallèles. Le grand triangle est un agrandissement du petit, ce qui revient à une configuration de Thalès.
Les rapports hauteur/ombre sont donc égaux : h6 = 1,20,8.
h = 1,2 × 60,8 = 7,20,8 = 9.
L'arbre mesure 9 m de haut.

Exercice 6 Maîtrise

Pour mesurer la largeur BC d'une rivière, on plante des piquets de sorte que D, A, B soient alignés, E, A, C soient alignés et (DE) // (BC). On mesure AD = 15 m, AB = 60 m et DE = 10 m. Calculer la largeur BC.

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Correction détaillée

Les points D, A, B sont alignés, ainsi que E, A, C, et (DE) // (BC) : configuration papillon de sommet A. D'après le théorème de Thalès : ADAB = AEAC = DEBC.
Le rapport connu est ADAB = 1560 = 14.
14 = 10BC, donc BC = 10 × 4 = 40.
La rivière mesure 40 m de large.

Exercice 7 Challenge

Un cône de volume 54 cm³ est réduit de rapport 23. Quel est le volume du cône réduit ?

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Correction détaillée

Une réduction de rapport k multiplie toutes les longueurs par k, et donc les volumes par k³.
Ici k = 23, donc k³ = (23)³ = 827.
Volume du cône réduit : 54 × 827 = (5427) × 8 = 2 × 8 = 16 cm³.

Exercice 8 Challenge

Une photo de 10 cm sur 15 cm est agrandie ; la nouvelle largeur est 25 cm. Quel est le rapport d'agrandissement ? Quelle est la nouvelle aire ?

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Correction détaillée

Le rapport d'agrandissement est le quotient d'une longueur de la nouvelle photo par la longueur correspondante de l'ancienne : k = 2510 = 2,5.
La nouvelle longueur est donc 15 × 2,5 = 37,5 cm.
Dans un agrandissement de rapport k, les aires sont multipliées par k² = 2,5² = 6,25. L'aire initiale est 10 × 15 = 150 cm², donc la nouvelle aire est 150 × 6,25 = 937,5 cm².
Vérification directe : 25 × 37,5 = 937,5 cm².

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