Théorème de Thalès et réciproque — cours de 3e
Les deux configurations, Théorème de Thalès, Réciproque du théorème de Thalès, Agrandissement et réduction Lecture ≈ 4 min.
1. Les deux configurations
Définition – Configurations de Thalès
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, avec B et M sur la première, C et N sur la seconde.
– Configuration « triangle » (ou « classique ») : M est sur le segment [AB] et N sur [AC] ; le triangle AMN est « emboîté » dans le triangle ABC.
– Configuration « papillon » (ou « croisée ») : M et B sont de part et d'autre de A, ainsi que N et C ; les deux triangles se touchent par le sommet A.
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, avec B et M sur la première, C et N sur la seconde.
– Configuration « triangle » (ou « classique ») : M est sur le segment [AB] et N sur [AC] ; le triangle AMN est « emboîté » dans le triangle ABC.
– Configuration « papillon » (ou « croisée ») : M et B sont de part et d'autre de A, ainsi que N et C ; les deux triangles se touchent par le sommet A.
Configuration triangle Configuration papillon
A B C
/ \ \ /
M---N \ /
/ \ \ /
/ \ A
B---------C / \
/ \
N-----M
2. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AMAB = ANAC = MNBC
Méthode – Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
1. Identifier la configuration : citer le point d'intersection, les points alignés, et les droites parallèles (avec justification si nécessaire).
2. Écrire les rapports du théorème de Thalès (toujours en partant du sommet commun A).
3. Remplacer par les valeurs connues.
4. Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur cherchée.
1. Identifier la configuration : citer le point d'intersection, les points alignés, et les droites parallèles (avec justification si nécessaire).
2. Écrire les rapports du théorème de Thalès (toujours en partant du sommet commun A).
3. Remplacer par les valeurs connues.
4. Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur cherchée.
Exemple résolu – Configuration triangle
Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) // (BC). AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 4 cm, MN = 5 cm. Calculer AC et BC.
Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC, soit 37,5 = 4AC = 5BC.
AC = 4 × 7,53 = 10 cm.
BC = 5 × 7,53 = 12,5 cm.
Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) // (BC). AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 4 cm, MN = 5 cm. Calculer AC et BC.
Les points A, M, B sont alignés, ainsi que A, N, C, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC, soit 37,5 = 4AC = 5BC.
AC = 4 × 7,53 = 10 cm.
BC = 5 × 7,53 = 12,5 cm.
Exemple résolu – Configuration papillon
Les droites (BM) et (CN) se coupent en A. (MN) // (BC). AB = 6 cm, AM = 4 cm, AC = 9 cm, BC = 7,5 cm. Calculer AN et MN.
Les points M, A, B sont alignés, N, A, C aussi, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC, soit 46 = AN9 = MN7,5.
AN = 4 × 96 = 6 cm ; MN = 4 × 7,56 = 5 cm.
Les droites (BM) et (CN) se coupent en A. (MN) // (BC). AB = 6 cm, AM = 4 cm, AC = 9 cm, BC = 7,5 cm. Calculer AN et MN.
Les points M, A, B sont alignés, N, A, C aussi, et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès :
AMAB = ANAC = MNBC, soit 46 = AN9 = MN7,5.
AN = 4 × 96 = 6 cm ; MN = 4 × 7,56 = 5 cm.
3. Réciproque du théorème de Thalès
Réciproque du théorème de Thalès
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, telles que les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part soient alignés dans le même ordre.
Si AMAB = ANAC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Soient deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, telles que les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part soient alignés dans le même ordre.
Si AMAB = ANAC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Méthode – Démontrer que deux droites sont parallèles
1. Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites.
2. Calculer séparément les deux rapports AMAB et ANAC (en simplifiant les fractions ou en donnant la valeur décimale exacte).
3. Si les rapports sont égaux, conclure par la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, conclure que les droites ne sont pas parallèles (par la contraposée du théorème de Thalès).
1. Vérifier que les points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites.
2. Calculer séparément les deux rapports AMAB et ANAC (en simplifiant les fractions ou en donnant la valeur décimale exacte).
3. Si les rapports sont égaux, conclure par la réciproque du théorème de Thalès. Sinon, conclure que les droites ne sont pas parallèles (par la contraposée du théorème de Thalès).
Exemple résolu
A, M, B alignés dans cet ordre, A, N, C alignés dans cet ordre. AM = 4,5 cm, AB = 7,5 cm, AN = 6 cm, AC = 10 cm. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
AMAB = 4,57,5 = 4575 = 35 = 0,6.
ANAC = 610 = 35 = 0,6.
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
A, M, B alignés dans cet ordre, A, N, C alignés dans cet ordre. AM = 4,5 cm, AB = 7,5 cm, AN = 6 cm, AC = 10 cm. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
AMAB = 4,57,5 = 4575 = 35 = 0,6.
ANAC = 610 = 35 = 0,6.
Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
Exemple résolu – Cas non parallèle
Avec AM = 5, AB = 8, AN = 4, AC = 7 : AMAB = 58 = 0,625 et ANAC = 47 ≈ 0,571. Les rapports sont différents. Si les droites étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, les rapports seraient égaux. Ce n'est pas le cas, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Avec AM = 5, AB = 8, AN = 4, AC = 7 : AMAB = 58 = 0,625 et ANAC = 47 ≈ 0,571. Les rapports sont différents. Si les droites étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, les rapports seraient égaux. Ce n'est pas le cas, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
4. Agrandissement et réduction
Définition
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k > 0, appelé rapport (ou coefficient) d'agrandissement (si k > 1) ou de réduction (si 0 < k < 1).
Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC de rapport k = AMAB.
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k > 0, appelé rapport (ou coefficient) d'agrandissement (si k > 1) ou de réduction (si 0 < k < 1).
Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC de rapport k = AMAB.
Propriété
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
– les longueurs sont multipliées par k ;
– les angles sont conservés (la forme est conservée) ;
– les aires sont multipliées par k2 ;
– les volumes sont multipliés par k3.
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
– les longueurs sont multipliées par k ;
– les angles sont conservés (la forme est conservée) ;
– les aires sont multipliées par k2 ;
– les volumes sont multipliés par k3.
Exemple résolu
Un triangle a une aire de 12 cm2. On l'agrandit de rapport 3. Son aire devient 12 × 32 = 12 × 9 = 108 cm2.
Une maquette d'avion est à l'échelle 150. L'avion réel a un volume de 250 m3. La maquette a un volume de 250 × (150)3 = 250125 000 = 0,002 m3 = 2 dm3 (2 litres).
Un triangle a une aire de 12 cm2. On l'agrandit de rapport 3. Son aire devient 12 × 32 = 12 × 9 = 108 cm2.
Une maquette d'avion est à l'échelle 150. L'avion réel a un volume de 250 m3. La maquette a un volume de 250 × (150)3 = 250125 000 = 0,002 m3 = 2 dm3 (2 litres).
Exemple résolu – Réduction d'une pyramide (type brevet)
Une pyramide SABCD de hauteur SH = 12 cm a un volume de 320 cm3. On la coupe par un plan parallèle à la base à 3 cm du sommet. Quel est le volume de la petite pyramide obtenue ?
La petite pyramide est une réduction de la grande de rapport k = 312 = 14.
Volume = 320 × (14)3 = 32064 = 5 cm3.
Une pyramide SABCD de hauteur SH = 12 cm a un volume de 320 cm3. On la coupe par un plan parallèle à la base à 3 cm du sommet. Quel est le volume de la petite pyramide obtenue ?
La petite pyramide est une réduction de la grande de rapport k = 312 = 14.
Volume = 320 × (14)3 = 32064 = 5 cm3.