Exercices corrigés — Puissances et notation scientifique (3e)

(−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16 : la parenthèse indique que c'est −2 tout entier qui est élevé à la puissance 4, et un produit de quatre facteurs négatifs est positif.
−2⁴ = −(2⁴) = −16 : sans parenthèse, la puissance porte sur 2 seulement, et le signe moins s'applique ensuite.
(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8 : trois facteurs négatifs donnent un résultat négatif.
3⁻² = 13² = 19 : un exposant négatif désigne l'inverse de la puissance positive.
(12)⁻¹ = 11/2 = 2 : l'inverse de 12 est 2.
10⁰ = 1, par convention, comme pour tout nombre non nul élevé à la puissance 0.

5³ × 5⁻⁷ : même base, on additionne les exposants (règle a^m × aⁿ = a^m+n) : 5^{3 + (−7)} = 5⁻⁴.
(2⁴)³ / 2⁵ : d'abord la puissance de puissance, on multiplie les exposants : (2⁴)³ = 2¹². Puis le quotient de même base, on soustrait les exposants : 2¹²2⁵ = 2^{12 − 5} = 2⁷.
10² × 10⁻⁶ = 10^{2 + (−6)} = 10⁻⁴, soit 0,000 1.

Un nombre en notation scientifique s'écrit a × 10ⁿ avec un seul chiffre non nul avant la virgule (1 ≤ a < 10).
72 000 000 : on place la virgule après le 7, ce qui la décale de 7 rangs vers la gauche ; on compense par 10⁷ : 7,2 × 10⁷.
0,000 45 : on place la virgule après le 4, décalage de 4 rangs vers la droite ; on compense par 10⁻⁴ : 4,5 × 10⁻⁴.
0,12 × 10⁷ : 0,12 n'est pas compris entre 1 et 10. On écrit 0,12 = 1,2 × 10⁻¹, donc 0,12 × 10⁷ = 1,2 × 10⁻¹ × 10⁷ = 1,2 × 10⁶.

Tous ces nombres sont en notation scientifique : on compare d'abord les exposants de 10, puis, à exposant égal, les nombres devant la puissance.
Exposant 4 : 5 × 10⁴ et 9,8 × 10⁴, et 5 < 9,8. Exposant 5 : 3,15 × 10⁵ et 3,2 × 10⁵, et 3,15 < 3,2 (on compare 3,15 et 3,20). Exposant 6 : 1,05 × 10⁶, le plus grand même si 1,05 est le plus petit des nombres devant les puissances.
Ordre croissant : 5 × 10⁴ < 9,8 × 10⁴ < 3,15 × 10⁵ < 3,2 × 10⁵ < 1,05 × 10⁶.
Vérification en écriture décimale : 50 000 < 98 000 < 315 000 < 320 000 < 1 050 000.

On regroupe les nombres décimaux d'un côté et les puissances de 10 de l'autre.
Numérateur : 6 × 5 × 10⁴ × 10⁻⁷ = 30 × 10^{4 + (−7)} = 30 × 10⁻³.
D = 30 × 10⁻³3 × 10⁻² = (303) × 10^{−3 − (−2)} = 10 × 10⁻¹ = 10¹ × 10⁻¹ = 10⁰ = 1.
En notation scientifique, D = 1 × 10⁰. Vérification en écriture décimale : 60 000 × 0,000 000 50,03 = 0,030,03 = 1.

La masse totale est le nombre d'atomes multiplié par la masse d'un atome : 6 × 10²³ × 1,67 × 10⁻²⁷.
On regroupe : 6 × 1,67 = 10,02 et 10²³ × 10⁻²⁷ = 10^{23 + (−27)} = 10⁻⁴. La masse est 10,02 × 10⁻⁴ kg.
Ce n'est pas une notation scientifique car 10,02 > 10 : 10,02 = 1,002 × 10, donc la masse vaut 1,002 × 10⁻³ kg.
Comme 10⁻³ kg = 1 g, cela fait environ 1 g : 6 × 10²³ atomes d'hydrogène (une « mole ») pèsent à peu près un gramme.

On convertit tout en octets : 2 To = 2 × 10¹² octets et 4 Mo = 4 × 10⁶ octets (méga = 10⁶).
Nombre de photos = capacité / taille d'une photo = 2 × 10¹²4 × 10⁶ = (24) × 10^{12 − 6} = 0,5 × 10⁶.
0,5 × 10⁶ = 5 × 10⁻¹ × 10⁶ = 5 × 10⁵ = 500 000.
On peut stocker 500 000 photos.

a) Nombre total de cheveux = nombre d'habitants × nombre de cheveux par personne = 8 × 10⁹ × 1,2 × 10⁵ = 9,6 × 10¹⁴.
Un ordre de grandeur est une puissance de 10 proche : 9,6 × 10¹⁴ est proche de 10 × 10¹⁴ = 10¹⁵. Il y a environ 10¹⁵ cheveux humains sur Terre, soit un million de milliards.
b) Longueur = nombre de cheveux × diamètre d'un cheveu = 1,2 × 10⁵ × 7 × 10⁻⁵ = 8,4 × 10^{5 + (−5)} = 8,4 × 10⁰ = 8,4 m.
Alignés côte à côte, les cheveux d'une seule personne s'étendraient sur environ 8,4 m.