Puissances et notation scientifique — cours de 3e
Rappels sur les puissances, Puissances de 10, Notation scientifique, Ordres de grandeur Lecture ≈ 4 min.
1. Rappels sur les puissances
Définition
Soit a un nombre relatif et n un entier naturel non nul.
an = a × a × … × a (n facteurs égaux à a).
Par convention : a1 = a et a0 = 1 (pour a ≠ 0).
Pour a ≠ 0 : a−n = 1an
Soit a un nombre relatif et n un entier naturel non nul.
an = a × a × … × a (n facteurs égaux à a).
Par convention : a1 = a et a0 = 1 (pour a ≠ 0).
Pour a ≠ 0 : a−n = 1an
Exemple
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; (−3)2 = 9 mais −32 = −9 ; 5−2 = 125 = 0,04 ; 10−3 = 0,001.
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; (−3)2 = 9 mais −32 = −9 ; 5−2 = 125 = 0,04 ; 10−3 = 0,001.
Propriété – Règles de calcul (a et b non nuls, m et n entiers relatifs)
Attention : il n'y a aucune règle pour am + an ; on calcule séparément.
| Règle | Exemple |
|---|---|
| am × an = am+n | 34 × 32 = 36 |
| aman = am−n | 7578 = 7−3 |
| (am)n = am×n | (23)4 = 212 |
| an × bn = (a × b)n | 23 × 53 = 103 = 1 000 |
| anbn = (ab)n | 6232 = 22 = 4 |
2. Puissances de 10
Propriété
Pour n entier naturel :
10n = 1 000…0 (1 suivi de n zéros) ;
10−n = 0,00…01 (n chiffres après la virgule, le dernier étant 1).
103 = 1 000 ; 106 = 1 000 000 (un million) ; 109 = un milliard ; 10−2 = 0,01 ; 10−6 = 0,000 001.
Pour n entier naturel :
10n = 1 000…0 (1 suivi de n zéros) ;
10−n = 0,00…01 (n chiffres après la virgule, le dernier étant 1).
103 = 1 000 ; 106 = 1 000 000 (un million) ; 109 = un milliard ; 10−2 = 0,01 ; 10−6 = 0,000 001.
Propriété – Préfixes usuels
| Préfixe | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| giga | G | 109 |
| méga | M | 106 |
| kilo | k | 103 |
| milli | m | 10−3 |
| micro | µ | 10−6 |
| nano | n | 10−9 |
3. Notation scientifique
Définition
Un nombre décimal est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme
a × 10n où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.
n est appelé l'exposant de la puissance de 10.
Un nombre décimal est écrit en notation scientifique lorsqu'il est écrit sous la forme
a × 10n où a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n un entier relatif.
n est appelé l'exposant de la puissance de 10.
Méthode – Écrire un nombre en notation scientifique
On déplace la virgule pour n'avoir qu'un seul chiffre non nul avant elle, puis on compense par une puissance de 10 :
– si on décale la virgule de n rangs vers la gauche, on multiplie par 10n ;
– si on décale la virgule de n rangs vers la droite, on multiplie par 10−n.
On déplace la virgule pour n'avoir qu'un seul chiffre non nul avant elle, puis on compense par une puissance de 10 :
– si on décale la virgule de n rangs vers la gauche, on multiplie par 10n ;
– si on décale la virgule de n rangs vers la droite, on multiplie par 10−n.
Exemple résolu
5 430 000 = 5,43 × 106 (virgule décalée de 6 rangs vers la gauche).
0,000 072 = 7,2 × 10−5 (virgule décalée de 5 rangs vers la droite).
325 × 104 = 3,25 × 102 × 104 = 3,25 × 106.
5 430 000 = 5,43 × 106 (virgule décalée de 6 rangs vers la gauche).
0,000 072 = 7,2 × 10−5 (virgule décalée de 5 rangs vers la droite).
325 × 104 = 3,25 × 102 × 104 = 3,25 × 106.
Méthode – Calculer avec la notation scientifique
On regroupe les nombres décimaux d'un côté et les puissances de 10 de l'autre, puis on remet le résultat en notation scientifique si nécessaire.
On regroupe les nombres décimaux d'un côté et les puissances de 10 de l'autre, puis on remet le résultat en notation scientifique si nécessaire.
Exemple résolu
A = (3 × 105) × (4 × 10−2) = (3 × 4) × (105 × 10−2) = 12 × 103 = 1,2 × 104.
B = 8 × 10−32 × 104 = (82) × 10−3−4 = 4 × 10−7.
C = (2 × 103)2 × 5 × 10−4 = 4 × 106 × 5 × 10−4 = 20 × 102 = 2 × 103.
A = (3 × 105) × (4 × 10−2) = (3 × 4) × (105 × 10−2) = 12 × 103 = 1,2 × 104.
B = 8 × 10−32 × 104 = (82) × 10−3−4 = 4 × 10−7.
C = (2 × 103)2 × 5 × 10−4 = 4 × 106 × 5 × 10−4 = 20 × 102 = 2 × 103.
4. Ordres de grandeur
Définition
Donner un ordre de grandeur d'un nombre, c'est donner une valeur approchée simple (souvent une puissance de 10 ou un nombre à un chiffre significatif fois une puissance de 10) qui permet d'estimer sa taille.
Donner un ordre de grandeur d'un nombre, c'est donner une valeur approchée simple (souvent une puissance de 10 ou un nombre à un chiffre significatif fois une puissance de 10) qui permet d'estimer sa taille.
Exemple résolu
La distance Terre–Soleil est d'environ 149 600 000 km. En notation scientifique : 1,496 × 108 km. Ordre de grandeur : 108 km, soit environ 1,5 × 108 km.
La lumière parcourt 3 × 105 km/s. Durée pour atteindre la Terre : 1,5 × 1083 × 105 = 0,5 × 103 = 500 s, soit environ 8 min 20 s.
La distance Terre–Soleil est d'environ 149 600 000 km. En notation scientifique : 1,496 × 108 km. Ordre de grandeur : 108 km, soit environ 1,5 × 108 km.
La lumière parcourt 3 × 105 km/s. Durée pour atteindre la Terre : 1,5 × 1083 × 105 = 0,5 × 103 = 500 s, soit environ 8 min 20 s.