Exercices corrigés — Probabilités (3e)

Le tirage se fait au hasard : les 32 cartes ont la même probabilité d'être tirées, c'est une situation d'équiprobabilité. Chaque probabilité vaut donc nombre de cartes favorables32.
a) Il y a 4 rois : p(roi) = 432 = 18.
b) Il y a 8 cœurs : p(cœur) = 832 = 14.
c) Les figures sont les valets, les dames et les rois, soit 3 × 4 = 12 cartes : p(figure) = 1232 = 38.
d) On passe par l'événement contraire, « as ou cœur ». Il y a 4 as et 8 cœurs, mais l'as de cœur est à la fois un as et un cœur : il ne faut le compter qu'une fois, soit 4 + 8 − 1 = 11 cartes. p(as ou cœur) = 1132, donc p(ni as ni cœur) = 1 − 1132 = 2132.

La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. La face 6 a pour probabilité 0,3, donc les cinq autres faces se partagent 1 − 0,3 = 0,7.
Ces cinq faces sont équiprobables : chacune a pour probabilité 0,7 ÷ 5 = 0,14.
p(obtenir 1) = 0,14. Vérification : 5 × 0,14 + 0,3 = 0,7 + 0,3 = 1.

Il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables, que le tableau à double entrée du cours donne toutes.
Somme égale à 8 : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3) et (6 ; 2), soit 5 issues. p(somme = 8) = 536.
Somme supérieure ou égale à 10 : la somme 10 s'obtient avec (4 ; 6), (5 ; 5), (6 ; 4) ; la somme 11 avec (5 ; 6), (6 ; 5) ; la somme 12 avec (6 ; 6). Cela fait 3 + 2 + 1 = 6 issues.
p(somme ≥ 10) = 636 = 16.

Les 8 secteurs sont identiques : à chaque tour, chaque numéro sort avec la probabilité 18. Les deux tours sont indépendants, le résultat du premier n'influence pas le second : on peut les représenter par un arbre pondéré à deux niveaux.
« Deux fois le 8 » correspond au chemin 8 puis 8. Sa probabilité est le produit des probabilités des deux branches : 18 × 18 = 164.
« Au moins une fois le 8 » a pour événement contraire « jamais le 8 », c'est-à-dire « pas 8 » au premier tour et « pas 8 » au second : (78) × (78) = 4964.
Donc p(au moins un 8) = 1 − 4964 = 1564.

La pièce est équilibrée : à chaque lancer, pile et face ont la même probabilité, 12, et les trois lancers sont indépendants. Il y a donc 2 × 2 × 2 = 8 issues, toutes équiprobables : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.
Les issues comportant exactement deux piles sont PPF, PFP et FPP : trois issues favorables sur huit.
p(exactement 2 piles) = 38.

Premier tirage : 5 boules, dont 1 noire. p(N) = 15 et p(B) = 45.
Second tirage, sans remise : il ne reste que 4 boules. Si la noire a été tirée en premier, il ne reste que des blanches : p(B ensuite) = 1. Si une blanche a été tirée en premier, il reste 3 blanches et 1 noire : p(N ensuite) = 14 et p(B ensuite) = 34.
Arbre pondéré : Départ → N (15) → B (1) ; Départ → B (45) → N (14) ou B (34).
On obtient la noire par deux chemins : « N puis B », de probabilité 15 × 1 = 15, et « B puis N », de probabilité 45 × 14 = 420 = 15.
p(obtenir la noire) = 15 + 15 = 25.

Premier tirage : 5 jetons. p(V) = 35 et p(J) = 25.
Second tirage, sans remise : il reste 4 jetons. Après un vert, il reste 2 verts et 2 jaunes, donc p(V) = 24. Après un jaune, il reste 3 verts et 1 jaune, donc p(J) = 14.
« Deux jetons de la même couleur » se réalise par les chemins VV et JJ.
p(VV) = 35 × 24 = 620 ; p(JJ) = 25 × 14 = 220.
p(même couleur) = 620 + 220 = 820 = 25.

On choisit un élève au hasard parmi 20 : situation d'équiprobabilité, chaque probabilité vaut nombre d'élèves favorables20.
Les sportifs sont 7 filles + 5 garçons = 12 élèves. p(sportif) = 1220 = 35.
Les filles non sportives sont 11 − 7 = 4. p(fille non sportive) = 420 = 15.
« Ne pas être sportif » est l'événement contraire de « être sportif » : p = 1 − 35 = 25.
Vérification directe : les non-sportifs sont 4 filles + 4 garçons = 8 élèves, et 820 = 25.