Probabilités — cours de 3e
Rappels de vocabulaire, Fréquence et probabilité, Expériences à deux épreuves et arbres Lecture ≈ 4 min.
1. Rappels de vocabulaire
Définition
– Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (lancer un dé, tirer une carte…).
– Les résultats possibles sont les issues.
– Un événement est un ensemble d'issues. Il est réalisé lorsque l'issue obtenue en fait partie.
– Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue.
– L'événement certain est toujours réalisé ; l'événement impossible ne l'est jamais.
– L'événement contraire de A, noté Ā (« non A »), est réalisé quand A ne l'est pas.
– Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
– Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude (lancer un dé, tirer une carte…).
– Les résultats possibles sont les issues.
– Un événement est un ensemble d'issues. Il est réalisé lorsque l'issue obtenue en fait partie.
– Un événement élémentaire ne contient qu'une seule issue.
– L'événement certain est toujours réalisé ; l'événement impossible ne l'est jamais.
– L'événement contraire de A, noté Ā (« non A »), est réalisé quand A ne l'est pas.
– Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Propriété
– Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
– La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
– p(événement certain) = 1 ; p(événement impossible) = 0.
– p(Ā) = 1 − p(A).
– Si A et B sont incompatibles : p(A ou B) = p(A) + p(B).
– Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
– La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
– p(événement certain) = 1 ; p(événement impossible) = 0.
– p(Ā) = 1 − p(A).
– Si A et B sont incompatibles : p(A ou B) = p(A) + p(B).
Propriété – Situation d'équiprobabilité
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité. Alors :
p(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues.
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité. Alors :
p(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues.
Exemple résolu
On lance un dé équilibré à 6 faces.
p(« obtenir 5 ») = 16.
p(« obtenir un nombre pair ») = 36 = 12 (issues 2, 4, 6).
p(« obtenir au moins 3 ») = 46 = 23 (issues 3, 4, 5, 6).
p(« ne pas obtenir 6 ») = 1 − 16 = 56.
On lance un dé équilibré à 6 faces.
p(« obtenir 5 ») = 16.
p(« obtenir un nombre pair ») = 36 = 12 (issues 2, 4, 6).
p(« obtenir au moins 3 ») = 46 = 23 (issues 3, 4, 5, 6).
p(« ne pas obtenir 6 ») = 1 − 16 = 56.
Exemple résolu
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
p(R) = 310 = 0,3 ; p(V) = 510 = 0,5 ; p(B) = 210 = 0,2. Vérification : 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1.
p(« ne pas tirer une verte ») = 1 − 0,5 = 0,5.
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
p(R) = 310 = 0,3 ; p(V) = 510 = 0,5 ; p(B) = 210 = 0,2. Vérification : 0,3 + 0,5 + 0,2 = 1.
p(« ne pas tirer une verte ») = 1 − 0,5 = 0,5.
2. Fréquence et probabilité
Propriété – Loi des grands nombres (approche)
Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se stabilise autour de sa probabilité. On peut donc estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais (simulation, tableur, programme).
Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se stabilise autour de sa probabilité. On peut donc estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais (simulation, tableur, programme).
Exemple
On lance une punaise 1 000 fois ; elle retombe 380 fois pointe en l'air. La fréquence est 3801 000 = 0,38. On estime que la probabilité qu'elle retombe pointe en l'air est d'environ 0,38. Il ne s'agit pas d'une situation d'équiprobabilité.
On lance une punaise 1 000 fois ; elle retombe 380 fois pointe en l'air. La fréquence est 3801 000 = 0,38. On estime que la probabilité qu'elle retombe pointe en l'air est d'environ 0,38. Il ne s'agit pas d'une situation d'équiprobabilité.
3. Expériences à deux épreuves et arbres
Définition
Une expérience à deux épreuves est la succession de deux expériences aléatoires (lancer deux pièces, tirer deux boules successivement…). On représente les issues à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée.
Une expérience à deux épreuves est la succession de deux expériences aléatoires (lancer deux pièces, tirer deux boules successivement…). On représente les issues à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée.
Définition – Arbre pondéré
Un arbre pondéré est un arbre dont chaque branche porte la probabilité de l'issue correspondante. La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1.
Un arbre pondéré est un arbre dont chaque branche porte la probabilité de l'issue correspondante. La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud vaut 1.
Propriété
– La probabilité d'un chemin (issue de l'expérience à deux épreuves) est le produit des probabilités des branches de ce chemin.
– La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
– La probabilité d'un chemin (issue de l'expérience à deux épreuves) est le produit des probabilités des branches de ce chemin.
– La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Exemple résolu – Tirage avec remise
Un sac contient 2 jetons rouges (R) et 3 jetons noirs (N). On tire un jeton, on le remet, puis on en tire un second.
p(« deux jetons de la même couleur ») = p(RR) + p(NN) = 425 + 925 = 1325.
p(« au moins un rouge ») = 1 − p(NN) = 1 − 925 = 1625.
Un sac contient 2 jetons rouges (R) et 3 jetons noirs (N). On tire un jeton, on le remet, puis on en tire un second.
2/5 R → RR : 2/5 × 2/5 = 4/25
2/5 R <
3/5 N → RN : 2/5 × 3/5 = 6/25
Départ <
2/5 R → NR : 3/5 × 2/5 = 6/25
3/5 N <
3/5 N → NN : 3/5 × 3/5 = 9/25
Vérification : 425 + 625 + 625 + 925 = 2525 = 1.p(« deux jetons de la même couleur ») = p(RR) + p(NN) = 425 + 925 = 1325.
p(« au moins un rouge ») = 1 − p(NN) = 1 − 925 = 1625.
Exemple résolu – Tirage sans remise
Même sac (2 R, 3 N), mais on ne remet pas le premier jeton. Les probabilités de la 2e épreuve dépendent du premier tirage (il reste 4 jetons).
Même sac (2 R, 3 N), mais on ne remet pas le premier jeton. Les probabilités de la 2e épreuve dépendent du premier tirage (il reste 4 jetons).
1/4 R → RR : 2/5 × 1/4 = 2/20
2/5 R <
3/4 N → RN : 2/5 × 3/4 = 6/20
Départ <
2/4 R → NR : 3/5 × 2/4 = 6/20
3/5 N <
2/4 N → NN : 3/5 × 2/4 = 6/20
p(« deux couleurs différentes ») = 620 + 620 = 1220 = 35.Exemple résolu – Tableau à double entrée
On lance deux dés équilibrés et on fait la somme. Le tableau ci-dessous donne les 36 issues équiprobables :
p(« somme égale à 7 ») = 636 = 16 ; p(« somme égale à 12 ») = 136 ; p(« somme ≤ 4 ») = 636 = 16.
On lance deux dés équilibrés et on fait la somme. Le tableau ci-dessous donne les 36 issues équiprobables :
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |