Exercices corrigés — Notion de fonction (3e)

Un point appartient à la courbe de f si et seulement si son ordonnée est égale à l'image de son abscisse.
Pour A(2 ; 5) : f(2) = 2² + 2 − 1 = 4 + 2 − 1 = 5. L'ordonnée de A est 5 : A appartient à la courbe de f.
Pour B(−1 ; −1) : f(−1) = (−1)² + (−1) − 1 = 1 − 1 − 1 = −1. L'ordonnée de B est −1 : B appartient aussi à la courbe de f.

a) On développe (x − 1)(x − 5) = x² − 5x − x + 5 = x² − 6x + 5 = f(x). L'égalité est vérifiée pour tout x.
b) Les antécédents de 0 sont les solutions de f(x) = 0. Avec la forme factorisée : (x − 1)(x − 5) = 0, donc x − 1 = 0 ou x − 5 = 0, soit x = 1 ou x = 5. Les antécédents de 0 sont 1 et 5.
c) f(3) = 3² − 6 × 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4, qui est l'ordonnée de M : le point M(3 ; −4) appartient à la courbe.
d) Les antécédents de −4 sont les solutions de f(x) = −4, soit x² − 6x + 5 = −4, c'est-à-dire x² − 6x + 9 = 0. On reconnaît l'identité remarquable a² − 2ab + b² avec a = x et b = 3 : x² − 6x + 9 = (x − 3)². L'équation (x − 3)² = 0 a pour unique solution x = 3.
Le nombre −4 a donc un seul antécédent, 3 : c'est le minimum de f, et M est le point le plus bas de la courbe.