Exercices corrigés — Notion de fonction (3e)

Pour calculer une image, on remplace x par la valeur donnée dans l'expression de f.
f(4) = 3 × 4 − 7 = 12 − 7 = 5 ; f(0) = 3 × 0 − 7 = −7 ; f(−2) = 3 × (−2) − 7 = −6 − 7 = −13.
Pour trouver l'antécédent de 11, on résout l'équation f(x) = 11 : 3x − 7 = 11, donc 3x = 18 et x = 6.
L'antécédent de 11 par f est 6. Vérification : f(6) = 18 − 7 = 11.

a) Avec 5 : on ajoute 3, ce qui donne 8 ; on multiplie par le nombre de départ, 8 × 5 = 40. Avec −3 : −3 + 3 = 0, puis 0 × (−3) = 0.
b) Si le nombre de départ est x, on obtient x + 3 après la première étape, puis (x + 3) × x. Donc p(x) = x(x + 3).
En développant : p(x) = x × x + x × 3 = x² + 3x.
Vérification : p(5) = 25 + 15 = 40 et p(−3) = 9 − 9 = 0, ce qui correspond aux résultats de la question a).

Image de −3 : g(−3) = (−3)² + 1 = 9 + 1 = 10. Attention aux parenthèses : le carré de −3 est 9, pas −9.
Antécédents de 10 : on résout x² + 1 = 10, soit x² = 9. Deux nombres ont pour carré 9 : 3 et −3. Le nombre 10 a donc deux antécédents, 3 et −3.
Antécédent de 0 : on résout x² + 1 = 0, soit x² = −1. Or un carré est toujours positif ou nul : cette équation n'a pas de solution. Le nombre 0 n'a aucun antécédent par g.

h(1) = (1 − 1)(1 + 4) = 0 × 5 = 0 et h(−4) = (−4 − 1)(−4 + 4) = (−5) × 0 = 0.
Les antécédents de 0 sont les solutions de l'équation h(x) = 0, c'est-à-dire (x − 1)(x + 4) = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : x − 1 = 0 ou x + 4 = 0, soit x = 1 ou x = −4.
Le nombre 0 a exactement deux antécédents : 1 et −4, ce que confirment les deux calculs précédents.

On remplace x par chaque valeur, en mettant les nombres négatifs entre parenthèses.
k(−1) = 2 × (−1) − (−1)² = −2 − 1 = −3 ; k(0) = 0 − 0 = 0 ; k(1) = 2 − 1 = 1 ; k(2) = 4 − 4 = 0 ; k(3) = 6 − 9 = −3.

a) L'image de 1,5 se lit dans la colonne t = 1,5 : d(1,5) = 30. Au bout d'une heure et demie, le cycliste a parcouru 30 km.
b) Les antécédents de 30 sont les valeurs de t pour lesquelles d(t) = 30 : on lit 30 dans deux colonnes, t = 1,5 et t = 2. Le nombre 30 a donc deux antécédents, 1,5 et 2 : à 1 h 30 comme à 2 h de route, la distance parcourue est de 30 km.
c) Entre t = 1,5 et t = 2, la distance parcourue n'a pas changé : le cycliste s'est arrêté pendant une demi-heure. Avant et après cette pause, il avance de 12 km par demi-heure, soit 24 km/h.

Un point appartient à la courbe de f si et seulement si son ordonnée est égale à l'image de son abscisse.
Pour A(2 ; 5) : f(2) = 2² + 2 − 1 = 4 + 2 − 1 = 5. L'ordonnée de A est 5 : A appartient à la courbe de f.
Pour B(−1 ; −1) : f(−1) = (−1)² + (−1) − 1 = 1 − 1 − 1 = −1. L'ordonnée de B est −1 : B appartient aussi à la courbe de f.

a) On développe (x − 1)(x − 5) = x² − 5x − x + 5 = x² − 6x + 5 = f(x). L'égalité est vérifiée pour tout x.
b) Les antécédents de 0 sont les solutions de f(x) = 0. Avec la forme factorisée : (x − 1)(x − 5) = 0, donc x − 1 = 0 ou x − 5 = 0, soit x = 1 ou x = 5. Les antécédents de 0 sont 1 et 5.
c) f(3) = 3² − 6 × 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4, qui est l'ordonnée de M : le point M(3 ; −4) appartient à la courbe.
d) Les antécédents de −4 sont les solutions de f(x) = −4, soit x² − 6x + 5 = −4, c'est-à-dire x² − 6x + 9 = 0. On reconnaît l'identité remarquable a² − 2ab + b² avec a = x et b = 3 : x² − 6x + 9 = (x − 3)². L'équation (x − 3)² = 0 a pour unique solution x = 3.
Le nombre −4 a donc un seul antécédent, 3 : c'est le minimum de f, et M est le point le plus bas de la courbe.