Notion de fonction — cours de 3e
Définition et notations, Différentes façons de définir une fonction, Courbe représentative Lecture ≈ 4 min.
1. Définition et notations
Définition
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre x d'un ensemble de départ, associe un seul nombre, noté f(x) (lire « f de x »).
On note : f : x ↦ f(x).
– f(x) est l'image de x par la fonction f.
– x est un antécédent de f(x) par la fonction f.
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre x d'un ensemble de départ, associe un seul nombre, noté f(x) (lire « f de x »).
On note : f : x ↦ f(x).
– f(x) est l'image de x par la fonction f.
– x est un antécédent de f(x) par la fonction f.
Propriété
Un nombre possède une seule image par une fonction.
En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.
Un nombre possède une seule image par une fonction.
En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.
Exemple
Soit la fonction f définie par f(x) = 2x2 − 3.
Image de 4 : f(4) = 2 × 42 − 3 = 2 × 16 − 3 = 29. L'image de 4 est 29 ; 4 est un antécédent de 29.
Image de −1 : f(−1) = 2 × (−1)2 − 3 = 2 − 3 = −1.
Antécédents de 5 : on résout 2x2 − 3 = 5, soit 2x2 = 8, x2 = 4, donc x = 2 ou x = −2. Le nombre 5 a deux antécédents : 2 et −2.
Antécédents de −10 : 2x2 − 3 = −10 donne x2 = −3,5, impossible. −10 n'a aucun antécédent.
Soit la fonction f définie par f(x) = 2x2 − 3.
Image de 4 : f(4) = 2 × 42 − 3 = 2 × 16 − 3 = 29. L'image de 4 est 29 ; 4 est un antécédent de 29.
Image de −1 : f(−1) = 2 × (−1)2 − 3 = 2 − 3 = −1.
Antécédents de 5 : on résout 2x2 − 3 = 5, soit 2x2 = 8, x2 = 4, donc x = 2 ou x = −2. Le nombre 5 a deux antécédents : 2 et −2.
Antécédents de −10 : 2x2 − 3 = −10 donne x2 = −3,5, impossible. −10 n'a aucun antécédent.
Méthode – Distinguer image et antécédent
– « Calculer l'image de a » : on remplace x par a dans l'expression et on calcule f(a).
– « Déterminer le(s) antécédent(s) de b » : on résout l'équation f(x) = b.
– « Calculer l'image de a » : on remplace x par a dans l'expression et on calcule f(a).
– « Déterminer le(s) antécédent(s) de b » : on résout l'équation f(x) = b.
2. Différentes façons de définir une fonction
Définition
Une fonction peut être définie par :
– une formule (expression algébrique) : f(x) = 3x − 1 ;
– un tableau de valeurs ;
– une courbe représentative (graphique) ;
– un programme de calcul.
Une fonction peut être définie par :
– une formule (expression algébrique) : f(x) = 3x − 1 ;
– un tableau de valeurs ;
– une courbe représentative (graphique) ;
– un programme de calcul.
Exemple – Tableau de valeurs
Soit g(x) = x2 − 2x. Tableau de valeurs :
Lecture : l'image de 3 est 3 ; les antécédents de 0 sont 0 et 2 ; les antécédents de 8 sont −2 et 4.
Soit g(x) = x2 − 2x. Tableau de valeurs :
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | 8 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 8 |
Exemple – Programme de calcul
« Choisir un nombre, le multiplier par 3, soustraire 5, puis élever au carré. » Ce programme définit la fonction h : x ↦ (3x − 5)2. Par exemple h(2) = (6 − 5)2 = 1.
« Choisir un nombre, le multiplier par 3, soustraire 5, puis élever au carré. » Ce programme définit la fonction h : x ↦ (3x − 5)2. Par exemple h(2) = (6 − 5)2 = 1.
3. Courbe représentative
Définition
Dans un repère, la courbe représentative de la fonction f est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)).
Autrement dit : le point M(x ; y) appartient à la courbe de f si et seulement si y = f(x)
Dans un repère, la courbe représentative de la fonction f est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)).
Autrement dit : le point M(x ; y) appartient à la courbe de f si et seulement si y = f(x)
Méthode – Tracer la courbe d'une fonction
1. Dresser un tableau de valeurs.
2. Placer les points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère.
3. Relier les points par une courbe régulière (à main levée, sans règle, sauf pour une droite).
1. Dresser un tableau de valeurs.
2. Placer les points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère.
3. Relier les points par une courbe régulière (à main levée, sans règle, sauf pour une droite).
Méthode – Lectures graphiques
– Lire l'image de a : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point trouvé sur l'axe des ordonnées.
– Lire les antécédents de b : on part de b sur l'axe des ordonnées, on trace une horizontale ; chaque point d'intersection avec la courbe donne un antécédent (son abscisse).
– Vérifier qu'un point appartient à la courbe : on calcule f(abscisse) et on compare à l'ordonnée.
– Lire l'image de a : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point trouvé sur l'axe des ordonnées.
– Lire les antécédents de b : on part de b sur l'axe des ordonnées, on trace une horizontale ; chaque point d'intersection avec la courbe donne un antécédent (son abscisse).
– Vérifier qu'un point appartient à la courbe : on calcule f(abscisse) et on compare à l'ordonnée.
Exemple résolu
Soit f(x) = −x2 + 4. Le point A(1 ; 3) appartient-il à la courbe ? f(1) = −1 + 4 = 3 = ordonnée de A : oui.
Le point B(−3 ; 5) ? f(−3) = −9 + 4 = −5 ≠ 5 : non.
Soit f(x) = −x2 + 4. Le point A(1 ; 3) appartient-il à la courbe ? f(1) = −1 + 4 = 3 = ordonnée de A : oui.
Le point B(−3 ; 5) ? f(−3) = −9 + 4 = −5 ≠ 5 : non.
Exemple résolu – Lecture graphique (situation)
La courbe ci-dessous décrit la température T (en °C) en fonction de l'heure h de la journée, pour h entre 0 et 24. On suppose que le graphique donne les valeurs suivantes :
– Image de 12 : T(12) = 18 → à midi, il fait 18 °C.
– Antécédents de 10 : la droite horizontale y = 10 coupe la courbe (au moins) en h = 8 et vers h ≈ 22. Il fait 10 °C vers 8 h et vers 22 h.
– Maximum : 22 °C atteint à 16 h.
La courbe ci-dessous décrit la température T (en °C) en fonction de l'heure h de la journée, pour h entre 0 et 24. On suppose que le graphique donne les valeurs suivantes :
| h (heure) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T(h) (°C) | 8 | 6 | 10 | 18 | 22 | 14 | 9 |
– Antécédents de 10 : la droite horizontale y = 10 coupe la courbe (au moins) en h = 8 et vers h ≈ 22. Il fait 10 °C vers 8 h et vers 22 h.
– Maximum : 22 °C atteint à 16 h.