Exercices corrigés — Homothéties et transformations (3e)

a) Faux. Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k| : elles ne sont conservées que si |k| = 1, c'est-à-dire pour l'identité (k = 1) ou la symétrie centrale (k = −1). Avec k = 2 par exemple, toutes les longueurs doublent.
b) Vrai. Une rotation est une isométrie : la figure image est superposable à la figure de départ, donc elle a la même aire.
c) Vrai. L'image d'un cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I', image de I, et de rayon 2r, puisque toutes les longueurs sont multipliées par 2.
d) Vrai. Avec k = −1, l'image M' de M vérifie OM' = OM, avec M' de l'autre côté de O : O est le milieu de [MM'], ce qui est exactement la définition de la symétrie de centre O.

Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre : M est sur la demi-droite [AB), du même côté de A que B, donc le rapport est positif.
L'homothétie de centre A qui transforme B en M vérifie AM = k × AB, donc k = AMAB = 25 = 0,4. C'est une réduction (0 < k < 1) : elle transforme le triangle ABC en le triangle AMN de la configuration de Thalès, N étant l'image de C.
L'homothétie de centre A qui transforme M en B fait le chemin inverse : k' = ABAM = 52 = 2,5, un agrandissement.
On remarque que k × k' = 0,4 × 2,5 = 1 : les deux rapports sont inverses l'un de l'autre.