Exercices corrigés — Homothéties et transformations (3e)

La maquette est une réduction de rapport k = 150 : les longueurs sont divisées par 50, les aires par 50² et les volumes par 50³.
a) Hauteur de la maquette : 30 ÷ 50 = 0,6 m, soit 60 cm.
b) Pour passer de la maquette à l'immeuble réel, on multiplie les aires par 50² = 2 500 : 8 × 2 500 = 20 000 cm². Comme 1 m² = 10 000 cm², la vraie fenêtre a une aire de 2 m².
c) On multiplie les volumes par 50³ = 125 000 : 72 × 125 000 = 9 000 000 dm³. Comme 1 m³ = 1 000 dm³, le volume de l'immeuble réel est 9 000 m³.

a) Une homothétie multiplie les longueurs par |k| : B'C' = |k| × BC, donc |k| = 7,53 = 2,5. Le centre O est entre B et son image B' : B et B' sont de part et d'autre de O, ce qui arrive exactement quand le rapport est négatif. Donc k = −2,5.
b) Les aires sont multipliées par k² = (−2,5)² = 6,25 : aire de A'B'C' = 2,4 × 6,25 = 15 cm².
c) Une homothétie conserve les angles : l'angle A'B'̂C' mesure 40°, comme l'angle AB̂C. Le triangle A'B'C' a la même forme que ABC ; il est 2,5 fois plus grand et retourné par rapport à O.