Homothéties et transformations — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 8 points à retenir et 2 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Rappels sur les transformations du plan
DéfinitionSymétrie axiale
La symétrie d'axe (d) transforme un point M en un point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM'] (si M n'est pas sur (d)). Un point de l'axe est son propre symétrique. C'est un « pliage » le long de (d).
DéfinitionSymétrie centrale
La symétrie de centre O transforme un point M en un point M' tel que O soit le milieu de [MM']. C'est un demi-tour (rotation de 180°) autour de O.
DéfinitionTranslation
La translation qui transforme A en B transforme tout point M en un point M' tel que ABM'M soit un parallélogramme (éventuellement aplati). C'est un glissement selon une direction, un sens et une longueur donnés (ceux de A vers B).
DéfinitionRotation
La rotation de centre O et d'angle α (dans un sens donné : horaire ou anti-horaire) transforme un point M en un point M' tel que OM' = OM et MÔM' = α. Le centre O est invariant.
PropriétéIsométries
Les symétries (axiale, centrale), les translations et les rotations conservent : les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme, les aires et les périmètres. Ce sont des isométries : la figure image est superposable à la figure de départ.
2. Homothétie
Définition
Soient O un point et k un nombre non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k transforme tout point M en un point M' tel que :
– M' est sur la droite (OM) ;
– OM' = |k| × OM ;
– si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à O ;
– si k < 0, M' est de l'autre côté de O que M.
Le centre O est son propre image (point invariant).
– M' est sur la droite (OM) ;
– OM' = |k| × OM ;
– si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à O ;
– si k < 0, M' est de l'autre côté de O que M.
Le centre O est son propre image (point invariant).
PropriétéEffets d'une homothétie de rapport k
– L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment parallèle.
– Les longueurs sont multipliées par |k|.
– Les angles sont conservés ; l'alignement, le parallélisme et les milieux sont conservés.
– Les aires sont multipliées par k2.
– L'image d'une figure est un agrandissement (si |k| > 1) ou une réduction (si |k| < 1) de la figure de départ.
– Si k = 1, c'est l'identité ; si k = −1, c'est la symétrie centrale de centre O.
– Les longueurs sont multipliées par |k|.
– Les angles sont conservés ; l'alignement, le parallélisme et les milieux sont conservés.
– Les aires sont multipliées par k2.
– L'image d'une figure est un agrandissement (si |k| > 1) ou une réduction (si |k| < 1) de la figure de départ.
– Si k = 1, c'est l'identité ; si k = −1, c'est la symétrie centrale de centre O.
PropriétéLien avec Thalès
Dans une configuration de Thalès de sommet A avec (MN) // (BC), le triangle AMN est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport k tel que |k| = AMAB, avec k = +AMAB en configuration triangle et k = −AMAB en configuration papillon.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Construire l'image d'un point par une homothétie
1. Tracer la droite (OM).
2. Mesurer OM et calculer OM' = |k| × OM.
3. Reporter cette longueur à partir de O, du bon côté (même côté si k > 0, côté opposé si k < 0).
Pour une figure, on construit l'image de chaque sommet puis on relie.
2. Mesurer OM et calculer OM' = |k| × OM.
3. Reporter cette longueur à partir de O, du bon côté (même côté si k > 0, côté opposé si k < 0).
Pour une figure, on construit l'image de chaque sommet puis on relie.
Méthode 2Identifier la transformation utilisée
– La figure a « glissé » sans tourner : translation.
– La figure a tourné autour d'un point (elle a changé d'orientation mais pas de taille) : rotation (demi-tour = symétrie centrale).
– La figure est « retournée » comme dans un miroir : symétrie axiale.
– La figure est agrandie ou réduite en gardant sa forme : homothétie.
Ces transformations sont utiles pour décrire les frises, pavages et rosaces.
– La figure a tourné autour d'un point (elle a changé d'orientation mais pas de taille) : rotation (demi-tour = symétrie centrale).
– La figure est « retournée » comme dans un miroir : symétrie axiale.
– La figure est agrandie ou réduite en gardant sa forme : homothétie.
Ces transformations sont utiles pour décrire les frises, pavages et rosaces.
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