Exercices corrigés — Homothéties et transformations (3e)

L'image M₁ de M par l'homothétie de centre O et de rapport 34 est le point de la droite (OM) tel que OM₁ = 34 × OM = 34 × 4 = 3 cm. Le rapport 34 est positif : M₁ est du même côté de O que M, sur la demi-droite [OM). Comme 34 < 1, c'est une réduction : M₁ est entre O et M.
L'image M₂ par l'homothétie de rapport −1,5 vérifie OM₂ = |−1,5| × OM = 1,5 × 4 = 6 cm. Le rapport est négatif : M₂ est sur la droite (OM), mais de l'autre côté de O par rapport à M.
OM₁ = 3 cm et OM₂ = 6 cm. Sur la figure, les points M₂, O, M₁ et M sont alignés dans cet ordre.

Une homothétie de rapport k multiplie toutes les longueurs par |k| : le côté du carré image mesure 6 × 13 = 2 cm. L'image d'un carré est un carré, car les angles et le parallélisme sont conservés.
Périmètre du carré image : 4 × 2 = 8 cm. On retrouve ce résultat en multipliant le périmètre de départ par 13 : 24 × 13 = 8 cm.
Aire du carré image : 2² = 4 cm². L'aire est multipliée par k² = (13)² = 19 : 36 × 19 = 4 cm². Les longueurs sont divisées par 3, mais l'aire est divisée par 9.

Par l'homothétie de centre O et de rapport k, l'image M' d'un point M est sur la droite (OM), avec OM' = |k| × OM, du même côté de O que M si k > 0 et de l'autre côté si k < 0. Quand le centre est l'origine du repère, cela revient à multiplier les deux coordonnées de M par k.
a) Rapport 2 : A'(2 × 2 ; 2 × 1) = A'(4 ; 2), B'(8 ; −2) et C'(2 ; −4). Le triangle A'B'C' est un agrandissement de ABC : ses côtés sont deux fois plus longs et son aire quatre fois plus grande.
b) Rapport −1 : A''(−2 ; −1), B''(−4 ; 1) et C''(−1 ; 2). Chaque point est envoyé de l'autre côté de O, à la même distance : O est le milieu de [AA''], de [BB''] et de [CC''].
L'homothétie de centre O et de rapport −1 est la symétrie centrale de centre O.

Une homothétie de rapport k multiplie les aires par k². On a donc 20 × k² = 180, soit k² = 18020 = 9.
Les nombres dont le carré vaut 9 sont 3 et −3 : k = 3 ou k = −3.
Dans les deux cas, les longueurs du rectangle sont multipliées par 3 ; avec k = −3, l'image est de plus « retournée » de l'autre côté du centre. L'énoncé ne permet pas de trancher : il y a deux rapports possibles.

a) Faux. Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k| : elles ne sont conservées que si |k| = 1, c'est-à-dire pour l'identité (k = 1) ou la symétrie centrale (k = −1). Avec k = 2 par exemple, toutes les longueurs doublent.
b) Vrai. Une rotation est une isométrie : la figure image est superposable à la figure de départ, donc elle a la même aire.
c) Vrai. L'image d'un cercle de centre I et de rayon r est le cercle de centre I', image de I, et de rayon 2r, puisque toutes les longueurs sont multipliées par 2.
d) Vrai. Avec k = −1, l'image M' de M vérifie OM' = OM, avec M' de l'autre côté de O : O est le milieu de [MM'], ce qui est exactement la définition de la symétrie de centre O.

Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre : M est sur la demi-droite [AB), du même côté de A que B, donc le rapport est positif.
L'homothétie de centre A qui transforme B en M vérifie AM = k × AB, donc k = AMAB = 25 = 0,4. C'est une réduction (0 < k < 1) : elle transforme le triangle ABC en le triangle AMN de la configuration de Thalès, N étant l'image de C.
L'homothétie de centre A qui transforme M en B fait le chemin inverse : k' = ABAM = 52 = 2,5, un agrandissement.
On remarque que k × k' = 0,4 × 2,5 = 1 : les deux rapports sont inverses l'un de l'autre.

La maquette est une réduction de rapport k = 150 : les longueurs sont divisées par 50, les aires par 50² et les volumes par 50³.
a) Hauteur de la maquette : 30 ÷ 50 = 0,6 m, soit 60 cm.
b) Pour passer de la maquette à l'immeuble réel, on multiplie les aires par 50² = 2 500 : 8 × 2 500 = 20 000 cm². Comme 1 m² = 10 000 cm², la vraie fenêtre a une aire de 2 m².
c) On multiplie les volumes par 50³ = 125 000 : 72 × 125 000 = 9 000 000 dm³. Comme 1 m³ = 1 000 dm³, le volume de l'immeuble réel est 9 000 m³.

a) Une homothétie multiplie les longueurs par |k| : B'C' = |k| × BC, donc |k| = 7,53 = 2,5. Le centre O est entre B et son image B' : B et B' sont de part et d'autre de O, ce qui arrive exactement quand le rapport est négatif. Donc k = −2,5.
b) Les aires sont multipliées par k² = (−2,5)² = 6,25 : aire de A'B'C' = 2,4 × 6,25 = 15 cm².
c) Une homothétie conserve les angles : l'angle A'B'̂C' mesure 40°, comme l'angle AB̂C. Le triangle A'B'C' a la même forme que ABC ; il est 2,5 fois plus grand et retourné par rapport à O.