Homothéties et transformations — cours de 3e
Rappels sur les transformations du plan, Homothétie, Reconnaître une transformation Lecture ≈ 4 min.
1. Rappels sur les transformations du plan
Définition – Symétrie axiale
La symétrie d'axe (d) transforme un point M en un point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM'] (si M n'est pas sur (d)). Un point de l'axe est son propre symétrique. C'est un « pliage » le long de (d).
La symétrie d'axe (d) transforme un point M en un point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM'] (si M n'est pas sur (d)). Un point de l'axe est son propre symétrique. C'est un « pliage » le long de (d).
Définition – Symétrie centrale
La symétrie de centre O transforme un point M en un point M' tel que O soit le milieu de [MM']. C'est un demi-tour (rotation de 180°) autour de O.
La symétrie de centre O transforme un point M en un point M' tel que O soit le milieu de [MM']. C'est un demi-tour (rotation de 180°) autour de O.
Définition – Translation
La translation qui transforme A en B transforme tout point M en un point M' tel que ABM'M soit un parallélogramme (éventuellement aplati). C'est un glissement selon une direction, un sens et une longueur donnés (ceux de A vers B).
La translation qui transforme A en B transforme tout point M en un point M' tel que ABM'M soit un parallélogramme (éventuellement aplati). C'est un glissement selon une direction, un sens et une longueur donnés (ceux de A vers B).
Définition – Rotation
La rotation de centre O et d'angle α (dans un sens donné : horaire ou anti-horaire) transforme un point M en un point M' tel que OM' = OM et MÔM' = α. Le centre O est invariant.
La rotation de centre O et d'angle α (dans un sens donné : horaire ou anti-horaire) transforme un point M en un point M' tel que OM' = OM et MÔM' = α. Le centre O est invariant.
Propriété – Isométries
Les symétries (axiale, centrale), les translations et les rotations conservent : les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme, les aires et les périmètres. Ce sont des isométries : la figure image est superposable à la figure de départ.
Les symétries (axiale, centrale), les translations et les rotations conservent : les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme, les aires et les périmètres. Ce sont des isométries : la figure image est superposable à la figure de départ.
2. Homothétie
Définition
Soient O un point et k un nombre non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k transforme tout point M en un point M' tel que :
– M' est sur la droite (OM) ;
– OM' = |k| × OM ;
– si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à O ;
– si k < 0, M' est de l'autre côté de O que M.
Le centre O est son propre image (point invariant).
Soient O un point et k un nombre non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k transforme tout point M en un point M' tel que :
– M' est sur la droite (OM) ;
– OM' = |k| × OM ;
– si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à O ;
– si k < 0, M' est de l'autre côté de O que M.
Le centre O est son propre image (point invariant).
Homothétie de centre O, rapport 2 : Homothétie de centre O, rapport −12 :
O-------M-------M' M'---O-------------M
OM' = 2 × OM OM' = OM2, de l'autre côté
Méthode – Construire l'image d'un point par une homothétie
1. Tracer la droite (OM).
2. Mesurer OM et calculer OM' = |k| × OM.
3. Reporter cette longueur à partir de O, du bon côté (même côté si k > 0, côté opposé si k < 0).
Pour une figure, on construit l'image de chaque sommet puis on relie.
1. Tracer la droite (OM).
2. Mesurer OM et calculer OM' = |k| × OM.
3. Reporter cette longueur à partir de O, du bon côté (même côté si k > 0, côté opposé si k < 0).
Pour une figure, on construit l'image de chaque sommet puis on relie.
Exemple résolu
Soit O un point et A tel que OA = 3 cm. L'image A' de A par l'homothétie de centre O et de rapport 2,5 est le point de la demi-droite [OA) tel que OA' = 2,5 × 3 = 7,5 cm.
L'image A'' par l'homothétie de centre O et de rapport −2 est le point de la droite (OA), de l'autre côté de O, tel que OA'' = 2 × 3 = 6 cm.
Soit O un point et A tel que OA = 3 cm. L'image A' de A par l'homothétie de centre O et de rapport 2,5 est le point de la demi-droite [OA) tel que OA' = 2,5 × 3 = 7,5 cm.
L'image A'' par l'homothétie de centre O et de rapport −2 est le point de la droite (OA), de l'autre côté de O, tel que OA'' = 2 × 3 = 6 cm.
Propriété – Effets d'une homothétie de rapport k
– L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment parallèle.
– Les longueurs sont multipliées par |k|.
– Les angles sont conservés ; l'alignement, le parallélisme et les milieux sont conservés.
– Les aires sont multipliées par k2.
– L'image d'une figure est un agrandissement (si |k| > 1) ou une réduction (si |k| < 1) de la figure de départ.
– Si k = 1, c'est l'identité ; si k = −1, c'est la symétrie centrale de centre O.
– L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment parallèle.
– Les longueurs sont multipliées par |k|.
– Les angles sont conservés ; l'alignement, le parallélisme et les milieux sont conservés.
– Les aires sont multipliées par k2.
– L'image d'une figure est un agrandissement (si |k| > 1) ou une réduction (si |k| < 1) de la figure de départ.
– Si k = 1, c'est l'identité ; si k = −1, c'est la symétrie centrale de centre O.
Exemple résolu
Un triangle ABC a un périmètre de 15 cm et une aire de 9 cm2. Son image A'B'C' par une homothétie de rapport −3 a :
– un périmètre de 15 × 3 = 45 cm ;
– une aire de 9 × (−3)2 = 9 × 9 = 81 cm2 ;
– les mêmes angles que ABC ; mais A'B'C' est « retourné » par rapport à O.
Un triangle ABC a un périmètre de 15 cm et une aire de 9 cm2. Son image A'B'C' par une homothétie de rapport −3 a :
– un périmètre de 15 × 3 = 45 cm ;
– une aire de 9 × (−3)2 = 9 × 9 = 81 cm2 ;
– les mêmes angles que ABC ; mais A'B'C' est « retourné » par rapport à O.
Propriété – Lien avec Thalès
Dans une configuration de Thalès de sommet A avec (MN) // (BC), le triangle AMN est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport k tel que |k| = AMAB, avec k = +AMAB en configuration triangle et k = −AMAB en configuration papillon.
Dans une configuration de Thalès de sommet A avec (MN) // (BC), le triangle AMN est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre A et de rapport k tel que |k| = AMAB, avec k = +AMAB en configuration triangle et k = −AMAB en configuration papillon.
Exemple résolu – Déterminer un rapport d'homothétie
Le triangle A'B'C' est l'image de ABC par une homothétie de centre O. AB = 4 cm et A'B' = 6 cm, avec A' et A du même côté de O.
Le rapport est k = A'B'/AB = 64 = 1,5 (positif car même côté).
Si l'aire de ABC vaut 5 cm2, l'aire de A'B'C' est 5 × 1,52 = 11,25 cm2.
Le triangle A'B'C' est l'image de ABC par une homothétie de centre O. AB = 4 cm et A'B' = 6 cm, avec A' et A du même côté de O.
Le rapport est k = A'B'/AB = 64 = 1,5 (positif car même côté).
Si l'aire de ABC vaut 5 cm2, l'aire de A'B'C' est 5 × 1,52 = 11,25 cm2.
3. Reconnaître une transformation
Méthode – Identifier la transformation utilisée
– La figure a « glissé » sans tourner : translation.
– La figure a tourné autour d'un point (elle a changé d'orientation mais pas de taille) : rotation (demi-tour = symétrie centrale).
– La figure est « retournée » comme dans un miroir : symétrie axiale.
– La figure est agrandie ou réduite en gardant sa forme : homothétie.
Ces transformations sont utiles pour décrire les frises, pavages et rosaces.
– La figure a « glissé » sans tourner : translation.
– La figure a tourné autour d'un point (elle a changé d'orientation mais pas de taille) : rotation (demi-tour = symétrie centrale).
– La figure est « retournée » comme dans un miroir : symétrie axiale.
– La figure est agrandie ou réduite en gardant sa forme : homothétie.
Ces transformations sont utiles pour décrire les frises, pavages et rosaces.
Exemple
Dans un pavage régulier par des triangles équilatéraux, on passe d'un triangle à son voisin par une symétrie axiale (d'axe le côté commun) ou par une rotation de 60° autour d'un sommet commun ; on passe d'une rangée à la suivante par une translation.
Dans un pavage régulier par des triangles équilatéraux, on passe d'un triangle à son voisin par une symétrie axiale (d'axe le côté commun) ou par une rotation de 60° autour d'un sommet commun ; on passe d'une rangée à la suivante par une translation.