Exercices corrigés — Géométrie dans l'espace (3e)

On considère le triangle formé par le centre O de la Terre, le centre H du parallèle et un point M de ce parallèle : il est rectangle en H, son hypoténuse OM est le rayon terrestre R = 6 371 km, et l'angle en M est égal à la latitude, 45°.
Dans ce triangle rectangle, [HM] est le côté adjacent à l'angle en M : cos 45° = HMOM, donc HM = OM × cos 45° = 6 371 × cos 45°.
Comme cos 45° ≈ 0,7071, HM ≈ 6 371 × 0,7071 ≈ 4 504,9 km. Le parallèle de latitude 45° N a un rayon d'environ 4 505 km, soit à peu près 71 % du rayon terrestre.

a) L'eau occupe un petit cône de même sommet que le verre, de hauteur 6 cm au lieu de 12 cm : c'est une réduction de rapport k = 612 = 12.
b) Le rayon de la surface de l'eau est le rayon de la base multiplié par k : 4 × 12 = 2 cm.
c) Volume du verre : V = (13) × π × 4² × 12 = (13) × π × 16 × 12 = 64π cm³, soit environ 201 cm³. Dans une réduction de rapport 12, le volume est multiplié par (12)³ = 18 : V_eau = 64π/8 = 8π cm³, soit environ 25 cm³. Vérification directe : (13) × π × 2² × 6 = 8π.
d) L'eau remplit 8π/(64π) = 18 du verre. À la moitié de la hauteur, le verre n'est rempli qu'au huitième, et non à moitié, parce que les volumes sont multipliés par le cube du rapport de réduction.