Géométrie dans l'espace — cours de 3e
Sphère et boule, Repérage sur la sphère terrestre, Sections de solides par un plan, Récapitulatif des aires et volumes Lecture ≈ 6 min.
1. Sphère et boule
Définition
– La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = r. C'est une surface (creuse).
– La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM ≤ r. C'est un solide (plein).
– Un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre ; son rayon est r.
– Deux points de la sphère diamétralement opposés sont appelés pôles lorsqu'on fixe un axe.
– La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = r. C'est une surface (creuse).
– La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM ≤ r. C'est un solide (plein).
– Un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre ; son rayon est r.
– Deux points de la sphère diamétralement opposés sont appelés pôles lorsqu'on fixe un axe.
Propriété – Formules
Pour une sphère (ou boule) de rayon r :
Aire de la sphère : A = 4 π r2
Volume de la boule : V = (43) π r3
Pour une sphère (ou boule) de rayon r :
Aire de la sphère : A = 4 π r2
Volume de la boule : V = (43) π r3
Exemple résolu
Une boule de pétanque a un diamètre de 7,4 cm, donc r = 3,7 cm.
Aire de la sphère : 4 × π × 3,72 = 4 × π × 13,69 = 54,76 π ≈ 172 cm2.
Volume de la boule : (43) × π × 3,73 = (43) × π × 50,653 ≈ 67,54 π ≈ 212 cm3.
Une boule de pétanque a un diamètre de 7,4 cm, donc r = 3,7 cm.
Aire de la sphère : 4 × π × 3,72 = 4 × π × 13,69 = 54,76 π ≈ 172 cm2.
Volume de la boule : (43) × π × 3,73 = (43) × π × 50,653 ≈ 67,54 π ≈ 212 cm3.
Exemple résolu – Retrouver un rayon
Un ballon sphérique a un volume de 4 500 cm3. Quel est son rayon (arrondi au mm) ?
(43) π r3 = 4 500 ⇒ r3 = 4 500 × 34π = 13 5004π ≈ 1 074,3.
r ≈ 10,24 cm (car 10,243 ≈ 1 074 ; on cherche le nombre dont le cube vaut 1 074,3, à la calculatrice). Rayon ≈ 10,2 cm.
Un ballon sphérique a un volume de 4 500 cm3. Quel est son rayon (arrondi au mm) ?
(43) π r3 = 4 500 ⇒ r3 = 4 500 × 34π = 13 5004π ≈ 1 074,3.
r ≈ 10,24 cm (car 10,243 ≈ 1 074 ; on cherche le nombre dont le cube vaut 1 074,3, à la calculatrice). Rayon ≈ 10,2 cm.
2. Repérage sur la sphère terrestre
Définition
On assimile la Terre à une sphère de rayon environ 6 371 km. L'axe des pôles passe par le pôle Nord, le centre et le pôle Sud.
– L'équateur est le grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles.
– Les parallèles sont les cercles parallèles à l'équateur (leur rayon diminue vers les pôles).
– Les méridiens sont les demi-grands cercles reliant les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien de référence.
– La latitude d'un point est l'angle (entre 0° et 90°, Nord ou Sud) qui mesure sa position par rapport à l'équateur.
– La longitude d'un point est l'angle (entre 0° et 180°, Est ou Ouest) qui mesure sa position par rapport au méridien de Greenwich.
Un point de la sphère est repéré par le couple (latitude ; longitude).
On assimile la Terre à une sphère de rayon environ 6 371 km. L'axe des pôles passe par le pôle Nord, le centre et le pôle Sud.
– L'équateur est le grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles.
– Les parallèles sont les cercles parallèles à l'équateur (leur rayon diminue vers les pôles).
– Les méridiens sont les demi-grands cercles reliant les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien de référence.
– La latitude d'un point est l'angle (entre 0° et 90°, Nord ou Sud) qui mesure sa position par rapport à l'équateur.
– La longitude d'un point est l'angle (entre 0° et 180°, Est ou Ouest) qui mesure sa position par rapport au méridien de Greenwich.
Un point de la sphère est repéré par le couple (latitude ; longitude).
Exemple
Paris : latitude 48,9° N, longitude 2,3° E. New York : 40,7° N, 74° O. Sydney : 33,9° S, 151,2° E.
Tous les points de l'équateur ont une latitude de 0°. Le pôle Nord a une latitude de 90° N (sa longitude n'est pas définie).
Paris : latitude 48,9° N, longitude 2,3° E. New York : 40,7° N, 74° O. Sydney : 33,9° S, 151,2° E.
Tous les points de l'équateur ont une latitude de 0°. Le pôle Nord a une latitude de 90° N (sa longitude n'est pas définie).
Exemple résolu – Rayon d'un parallèle
Quel est le rayon du parallèle de latitude 60° N ? (Rayon terrestre R = 6 371 km.)
On considère le triangle OHM formé par le centre O de la Terre, le centre H du parallèle et un point M de ce parallèle : il est rectangle en H. Comme (HM) est parallèle au plan de l'équateur, l'angle en M est égal à la latitude, soit 60° (l'angle en O vaut alors 30°). On a OM = R, donc le rayon cherché est HM = R × cos 60° = 6 371 × 0,5 = 3 185,5 km.
Longueur de ce parallèle : 2π × 3 185,5 ≈ 20 015 km, soit la moitié de la longueur de l'équateur (≈ 40 030 km).
Quel est le rayon du parallèle de latitude 60° N ? (Rayon terrestre R = 6 371 km.)
On considère le triangle OHM formé par le centre O de la Terre, le centre H du parallèle et un point M de ce parallèle : il est rectangle en H. Comme (HM) est parallèle au plan de l'équateur, l'angle en M est égal à la latitude, soit 60° (l'angle en O vaut alors 30°). On a OM = R, donc le rayon cherché est HM = R × cos 60° = 6 371 × 0,5 = 3 185,5 km.
Longueur de ce parallèle : 2π × 3 185,5 ≈ 20 015 km, soit la moitié de la longueur de l'équateur (≈ 40 030 km).
3. Sections de solides par un plan
Propriété – Sections usuelles
| Solide | Plan de coupe | Section obtenue |
|---|---|---|
| Pavé droit (parallélépipède rectangle) | parallèle à une face | rectangle identique à cette face |
| Pavé droit | parallèle à une arête | rectangle |
| Cylindre de révolution | parallèle à la base (perpendiculaire à l'axe) | disque de même rayon que la base |
| Cylindre de révolution | contenant l'axe (parallèle à l'axe) | rectangle |
| Pyramide | parallèle à la base | réduction de la base (même forme) |
| Cône de révolution | parallèle à la base | disque, réduction de la base |
| Sphère | quelconque (à distance d < r du centre) | cercle de rayon √r2 − d2 |
Propriété – Section d'une pyramide ou d'un cône
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction du solide initial, de rapport k = distance sommet–planhauteur totale. La section est une réduction de la base de rapport k.
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction du solide initial, de rapport k = distance sommet–planhauteur totale. La section est une réduction de la base de rapport k.
Exemple résolu – Section d'un cône
Un cône de révolution a pour hauteur SO = 15 cm et pour rayon de base 6 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à 5 cm du sommet.
Rapport de réduction : k = 515 = 13. Rayon de la section : 6 × 13 = 2 cm.
Volume du grand cône : (13) × π × 62 × 15 = 180π ≈ 565,5 cm3.
Volume du petit cône : 180π × (13)3 = 180π/27 = (203)π ≈ 20,9 cm3.
Volume du tronc de cône restant : 180π − (203)π = (5203)π ≈ 544,5 cm3.
Un cône de révolution a pour hauteur SO = 15 cm et pour rayon de base 6 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à 5 cm du sommet.
Rapport de réduction : k = 515 = 13. Rayon de la section : 6 × 13 = 2 cm.
Volume du grand cône : (13) × π × 62 × 15 = 180π ≈ 565,5 cm3.
Volume du petit cône : 180π × (13)3 = 180π/27 = (203)π ≈ 20,9 cm3.
Volume du tronc de cône restant : 180π − (203)π = (5203)π ≈ 544,5 cm3.
Exemple résolu – Section d'une sphère
Une sphère de rayon 10 cm est coupée par un plan situé à 6 cm de son centre. La section est un cercle de rayon √102 − 62 = √100 − 36 = √64 = 8 cm (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle centre – pied de la perpendiculaire – point du cercle).
Une sphère de rayon 10 cm est coupée par un plan situé à 6 cm de son centre. La section est un cercle de rayon √102 − 62 = √100 − 36 = √64 = 8 cm (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle centre – pied de la perpendiculaire – point du cercle).
4. Récapitulatif des aires et volumes
Propriété – Formulaire des volumes
Unités : 1 L = 1 dm3 ; 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 L ; 1 cm3 = 1 mL.
| Solide | Volume | Remarques |
|---|---|---|
| Cube d'arête a | V = a3 | aire totale 6a2 |
| Pavé droit L × l × h | V = L × l × h | |
| Prisme droit | V = (aire de la base) × h | base = polygone quelconque |
| Cylindre de révolution (rayon r, hauteur h) | V = π r2 h | aire latérale 2πrh |
| Pyramide | V = (13) × (aire de la base) × h | h = hauteur (perpendiculaire à la base) |
| Cône de révolution (rayon r, hauteur h) | V = (13) π r2 h | |
| Boule de rayon r | V = (43) π r3 | aire de la sphère 4πr2 |
Propriété – Formulaire des aires (rappel)
| Figure | Aire |
|---|---|
| Carré de côté c | c2 |
| Rectangle L × l | L × l |
| Triangle (base b, hauteur h) | b × h2 |
| Parallélogramme (base b, hauteur h) | b × h |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | (B + b) × h2 |
| Disque de rayon r | π r2 (périmètre du cercle : 2πr) |
Exemple résolu (type brevet) – Solide composé
Un silo est formé d'un cylindre de rayon 2 m et de hauteur 5 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 1,5 m.
Volume du cylindre : π × 22 × 5 = 20π m3.
Volume du cône : (13) × π × 22 × 1,5 = 2π m3.
Volume total : 22π ≈ 69,1 m3, soit environ 69 100 L.
Si le grain occupe 80 % du volume, il y a 0,8 × 69,1 ≈ 55,3 m3 de grain.
Un silo est formé d'un cylindre de rayon 2 m et de hauteur 5 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 1,5 m.
Volume du cylindre : π × 22 × 5 = 20π m3.
Volume du cône : (13) × π × 22 × 1,5 = 2π m3.
Volume total : 22π ≈ 69,1 m3, soit environ 69 100 L.
Si le grain occupe 80 % du volume, il y a 0,8 × 69,1 ≈ 55,3 m3 de grain.