Exercices corrigés — Géométrie dans l'espace (3e)

a) Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions : V = 8 × 4 × 1,5 = 48 m³.
b) Aux 910, le volume d'eau est 910 × 48 = 43,2 m³. Comme 1 m³ = 1 000 L, cela fait 43,2 × 1 000 = 43 200 L.
La piscine contient 43 200 litres d'eau.

Pour une boule de rayon r, l'aire de la sphère est A = 4πr² et le volume de la boule est V = (43)πr³. Ici r = 4,5 cm.
Aire : r² = 4,5² = 20,25, donc A = 4π × 20,25 = 81π cm². Valeur approchée : 81 × 3,1416 ≈ 254,5, soit environ 254 cm².
Volume : r³ = 4,5³ = 91,125, donc V = (43)π × 91,125 = 121,5π cm³. Valeur approchée : 121,5 × 3,1416 ≈ 381,7, soit environ 382 cm³.
On garde la valeur exacte avec π jusqu'au bout du calcul et on n'arrondit qu'à la fin.

Le volume total est la somme du volume du cône et de celui de la demi-boule.
Cône de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm : V = (13) × π × r² × h = (13) × π × 9 × 10 = 30π cm³.
Demi-boule de rayon 3 cm : la moitié de (43)πr³, soit (12) × (43) × π × 27 = 18π cm³.
Total : 30π + 18π = 48π cm³. Valeur approchée : 48 × 3,1416 ≈ 150,8, soit environ 151 cm³ de glace.

a) Un plan perpendiculaire à l'axe coupe le cylindre selon un disque de même rayon que la base : un disque de rayon 5 cm. Un plan contenant l'axe le coupe selon un rectangle dont un côté est la hauteur, 12 cm, et l'autre le diamètre de la base, 2 × 5 = 10 cm : un rectangle de 12 cm sur 10 cm.
b) V = π × r² × h = π × 5² × 12 = π × 25 × 12 = 300π cm³. C'est la valeur exacte.
Valeur approchée : 300 × 3,1416 ≈ 942,5, soit environ 942 cm³.

La petite pyramide, de même sommet S et de hauteur 9 cm, est une réduction de la grande pyramide, de hauteur 12 cm. Le rapport de réduction est k = 912 = 34.
Nature de la section : c'est une réduction de la base, donc un carré, dont le côté est celui de la base multiplié par k : 8 × 34 = 6 cm. La section est un carré de 6 cm de côté.
Volume de la grande pyramide : V = (13) × aire de la base × hauteur = (13) × 8² × 12 = (13) × 64 × 12 = 256 cm³.
Dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k³ : V_petite = 256 × (34)³ = 256 × 2764 = 108 cm³. Vérification directe : (13) × 6² × 9 = (13) × 36 × 9 = 108 cm³.

La surface de l'eau est un disque : c'est la section de la sphère par un plan situé à 9 cm du centre O. Soit H le centre de ce disque et M un point de son bord. On a OH = 9 cm et OM = 15 cm, car M est sur la sphère. Le plan de coupe est perpendiculaire à (OH), donc le triangle OHM est rectangle en H.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle OHM rectangle en H : OM² = OH² + HM², soit 15² = 9² + HM², donc HM² = 225 − 81 = 144 et HM = √144 = 12 cm.
Le disque formé par la surface de l'eau a un rayon de 12 cm.

On considère le triangle formé par le centre O de la Terre, le centre H du parallèle et un point M de ce parallèle : il est rectangle en H, son hypoténuse OM est le rayon terrestre R = 6 371 km, et l'angle en M est égal à la latitude, 45°.
Dans ce triangle rectangle, [HM] est le côté adjacent à l'angle en M : cos 45° = HMOM, donc HM = OM × cos 45° = 6 371 × cos 45°.
Comme cos 45° ≈ 0,7071, HM ≈ 6 371 × 0,7071 ≈ 4 504,9 km. Le parallèle de latitude 45° N a un rayon d'environ 4 505 km, soit à peu près 71 % du rayon terrestre.

a) L'eau occupe un petit cône de même sommet que le verre, de hauteur 6 cm au lieu de 12 cm : c'est une réduction de rapport k = 612 = 12.
b) Le rayon de la surface de l'eau est le rayon de la base multiplié par k : 4 × 12 = 2 cm.
c) Volume du verre : V = (13) × π × 4² × 12 = (13) × π × 16 × 12 = 64π cm³, soit environ 201 cm³. Dans une réduction de rapport 12, le volume est multiplié par (12)³ = 18 : V_eau = 64π/8 = 8π cm³, soit environ 25 cm³. Vérification directe : (13) × π × 2² × 6 = 8π.
d) L'eau remplit 8π/(64π) = 18 du verre. À la moitié de la hauteur, le verre n'est rempli qu'au huitième, et non à moitié, parce que les volumes sont multipliés par le cube du rapport de réduction.