Géométrie dans l'espace — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Sphère et boule
Définition
– La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = r. C'est une surface (creuse).
– La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM ≤ r. C'est un solide (plein).
– Un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre ; son rayon est r.
– Deux points de la sphère diamétralement opposés sont appelés pôles lorsqu'on fixe un axe.
– La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que OM ≤ r. C'est un solide (plein).
– Un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre ; son rayon est r.
– Deux points de la sphère diamétralement opposés sont appelés pôles lorsqu'on fixe un axe.
PropriétéFormules
Pour une sphère (ou boule) de rayon r :
Aire de la sphère : A = 4 π r2
Volume de la boule : V = (43) π r3
Aire de la sphère : A = 4 π r2
Volume de la boule : V = (43) π r3
2. Repérage sur la sphère terrestre
Définition
On assimile la Terre à une sphère de rayon environ 6 371 km. L'axe des pôles passe par le pôle Nord, le centre et le pôle Sud.
– L'équateur est le grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles.
– Les parallèles sont les cercles parallèles à l'équateur (leur rayon diminue vers les pôles).
– Les méridiens sont les demi-grands cercles reliant les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien de référence.
– La latitude d'un point est l'angle (entre 0° et 90°, Nord ou Sud) qui mesure sa position par rapport à l'équateur.
– La longitude d'un point est l'angle (entre 0° et 180°, Est ou Ouest) qui mesure sa position par rapport au méridien de Greenwich.
Un point de la sphère est repéré par le couple (latitude ; longitude).
– L'équateur est le grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles.
– Les parallèles sont les cercles parallèles à l'équateur (leur rayon diminue vers les pôles).
– Les méridiens sont les demi-grands cercles reliant les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien de référence.
– La latitude d'un point est l'angle (entre 0° et 90°, Nord ou Sud) qui mesure sa position par rapport à l'équateur.
– La longitude d'un point est l'angle (entre 0° et 180°, Est ou Ouest) qui mesure sa position par rapport au méridien de Greenwich.
Un point de la sphère est repéré par le couple (latitude ; longitude).
3. Sections de solides par un plan
PropriétéSections usuelles
| Solide | Plan de coupe | Section obtenue |
|---|---|---|
| Pavé droit (parallélépipède rectangle) | parallèle à une face | rectangle identique à cette face |
| Pavé droit | parallèle à une arête | rectangle |
| Cylindre de révolution | parallèle à la base (perpendiculaire à l'axe) | disque de même rayon que la base |
| Cylindre de révolution | contenant l'axe (parallèle à l'axe) | rectangle |
| Pyramide | parallèle à la base | réduction de la base (même forme) |
| Cône de révolution | parallèle à la base | disque, réduction de la base |
| Sphère | quelconque (à distance d < r du centre) | cercle de rayon √r2 − d2 |
PropriétéSection d'une pyramide ou d'un cône
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, on obtient une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction du solide initial, de rapport k = distance sommet–planhauteur totale. La section est une réduction de la base de rapport k.
4. Récapitulatif des aires et volumes
PropriétéFormulaire des volumes
| Solide | Volume | Remarques |
|---|---|---|
| Cube d'arête a | V = a3 | aire totale 6a2 |
| Pavé droit L × l × h | V = L × l × h | |
| Prisme droit | V = (aire de la base) × h | base = polygone quelconque |
| Cylindre de révolution (rayon r, hauteur h) | V = π r2 h | aire latérale 2πrh |
| Pyramide | V = (13) × (aire de la base) × h | h = hauteur (perpendiculaire à la base) |
| Cône de révolution (rayon r, hauteur h) | V = (13) π r2 h | |
| Boule de rayon r | V = (43) π r3 | aire de la sphère 4πr2 |
PropriétéFormulaire des aires (rappel)
| Figure | Aire |
|---|---|
| Carré de côté c | c2 |
| Rectangle L × l | L × l |
| Triangle (base b, hauteur h) | b × h2 |
| Parallélogramme (base b, hauteur h) | b × h |
| Trapèze (bases B et b, hauteur h) | (B + b) × h2 |
| Disque de rayon r | π r2 (périmètre du cercle : 2πr) |
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés