Exercices corrigés — Fonctions linéaires et affines (3e)

Une fonction affine s'écrit x ↦ ax + b ; elle est linéaire si b = 0, constante si a = 0.
f(x) = 5x est de la forme ax avec a = 5 : linéaire, donc aussi affine (b = 0).
g(x) = 3x − 2 est de la forme ax + b avec a = 3 et b = −2 : affine, mais pas linéaire.
h(x) = x² + 1 contient x² : ni linéaire ni affine (sa courbe n'est pas une droite).
k(x) = −4 est de la forme ax + b avec a = 0 et b = −4 : affine, et même constante.
m(x) = 2x : x est au dénominateur, ce n'est ni linéaire ni affine.

Calculer une image, c'est remplacer x par la valeur donnée. f(2) = 3 × 2 − 5 = 1 ; f(−1) = 3 × (−1) − 5 = −8 ; f(0) = 3 × 0 − 5 = −5, c'est l'ordonnée à l'origine.
Chercher l'antécédent de 10, c'est résoudre f(x) = 10 : 3x − 5 = 10, donc 3x = 15 et x = 5.
L'antécédent de 10 par f est 5. Vérification : f(5) = 15 − 5 = 10.

Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax. Comme f(5) = 12, on a a × 5 = 12, donc a = 125 = 2,4 et f(x) = 2,4x.
f(−2) = 2,4 × (−2) = −4,8.
L'antécédent de 30 est le nombre x tel que 2,4x = 30 : x = 302,4 = 12,5. Vérification : 2,4 × 12,5 = 30.

Une fonction affine s'écrit g(x) = ax + b. Le coefficient directeur est le quotient de l'accroissement des images par l'accroissement des x : a = [g(−1) − g(2)] / (−1 − 2) = 7 − 1−3 = 6−3 = −2.
On calcule b avec l'une des deux images : g(2) = 1 donne −2 × 2 + b = 1, soit −4 + b = 1, donc b = 5.
g(x) = −2x + 5. Vérification avec l'autre image : g(−1) = 2 + 5 = 7.

Le point A(0 ; 4) est sur l'axe des ordonnées : l'ordonnée à l'origine est b = 4.
Coefficient directeur entre A et B : a = 0 − 42 − 0 = −42 = −2. En avançant de 1 vers la droite, on descend de 2.
La fonction représentée est f(x) = −2x + 4.
C(5 ; −6) est sur la droite si f(5) = −6. Or f(5) = −2 × 5 + 4 = −10 + 4 = −6 : oui, la droite passe par C.

a) Offre A : le coût fixe est 15 € et chaque minute coûte 0,10 €, donc f_A(x) = 0,1x + 15, fonction affine. Offre B : le coût ne dépend pas de x, f_B(x) = 25, fonction constante.
b) Les deux offres coûtent la même chose quand 0,1x + 15 = 25, soit 0,1x = 10 et x = 100. Pour 100 minutes d'appel par mois, les deux offres coûtent 25 €.
c) L'offre B est plus avantageuse quand 25 < 0,1x + 15, c'est-à-dire x > 100. Au-delà de 100 minutes par mois, l'offre B coûte moins cher ; en dessous, c'est l'offre A. Graphiquement, la droite de A coupe la droite horizontale de B au point (100 ; 25).

Augmenter de 15 %, c'est multiplier par 1 + 15100 = 1,15 ; diminuer de 15 %, c'est multiplier par 1 − 15100 = 0,85.
Prix après la hausse : 60 × 1,15 = 69 €. Prix après la baisse : 69 × 0,85 = 58,65 €.
On ne retrouve pas 60 € : la baisse de 15 % porte sur 69 € et non sur 60 €, elle est donc plus grande que la hausse. Globalement, le prix a été multiplié par 1,15 × 0,85 = 0,9775, ce qui correspond à une baisse de 2,25 %.

a) Une fonction affine dont la droite passe par l'origine est linéaire : f(x) = ax. Comme f(3) = 7, on a 3a = 7, donc a = 73 et f(x) = (73)x.
b) g(0) = −2 donne l'ordonnée à l'origine : b = −2. Le coefficient directeur est a = [g(4) − g(0)] / (4 − 0) = −2 − (−2)4 = 04 = 0.
Donc g(x) = 0x − 2 = −2 : g est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale, parallèle à l'axe des abscisses, qui coupe l'axe des ordonnées en −2.