Fonctions linéaires et affines — cours de 3e
Fonctions linéaires, Fonctions affines, Déterminer l'expression d'une fonction affine, Fonctions affines et pourcentages Lecture ≈ 5 min.
1. Fonctions linéaires
Définition
Soit a un nombre. La fonction qui à tout nombre x associe le nombre a × x est appelée fonction linéaire de coefficient a.
On note f : x ↦ ax, ou f(x) = ax.
Soit a un nombre. La fonction qui à tout nombre x associe le nombre a × x est appelée fonction linéaire de coefficient a.
On note f : x ↦ ax, ou f(x) = ax.
Propriété – Lien avec la proportionnalité
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit une situation de proportionnalité : le tableau de valeurs de f est un tableau de proportionnalité de coefficient a.
Réciproquement, toute situation de proportionnalité de coefficient a est modélisée par la fonction linéaire x ↦ ax.
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit une situation de proportionnalité : le tableau de valeurs de f est un tableau de proportionnalité de coefficient a.
Réciproquement, toute situation de proportionnalité de coefficient a est modélisée par la fonction linéaire x ↦ ax.
Propriété – Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction linéaire f(x) = ax est une droite passant par l'origine du repère. Le nombre a est le coefficient directeur (ou pente) de la droite.
– Si a > 0, la droite « monte » ; si a < 0, elle « descend » ; si a = 0, c'est l'axe des abscisses.
La représentation graphique d'une fonction linéaire f(x) = ax est une droite passant par l'origine du repère. Le nombre a est le coefficient directeur (ou pente) de la droite.
– Si a > 0, la droite « monte » ; si a < 0, elle « descend » ; si a = 0, c'est l'axe des abscisses.
Exemple
Un kilogramme de pommes coûte 2,50 €. Le prix P (en €) de x kg est P(x) = 2,5x. C'est une fonction linéaire de coefficient 2,5.
P(3) = 7,5 ; P(0,4) = 1. Antécédent de 10 : 2,5x = 10 ⇒ x = 4 (4 kg pour 10 €).
Un kilogramme de pommes coûte 2,50 €. Le prix P (en €) de x kg est P(x) = 2,5x. C'est une fonction linéaire de coefficient 2,5.
P(3) = 7,5 ; P(0,4) = 1. Antécédent de 10 : 2,5x = 10 ⇒ x = 4 (4 kg pour 10 €).
Méthode – Déterminer une fonction linéaire connaissant une image
Si f est linéaire et f(x0) = y0 avec x0 ≠ 0, alors a = y0x0
Si f est linéaire et f(x0) = y0 avec x0 ≠ 0, alors a = y0x0
Exemple résolu
f est une fonction linéaire telle que f(4) = −6. Alors a = −64 = −1,5 et f(x) = −1,5x
f est une fonction linéaire telle que f(4) = −6. Alors a = −64 = −1,5 et f(x) = −1,5x
2. Fonctions affines
Définition
Soient a et b deux nombres. La fonction qui à tout nombre x associe le nombre ax + b est appelée fonction affine.
On note f : x ↦ ax + b.
– Si b = 0, f est une fonction linéaire.
– Si a = 0, f est une fonction constante : f(x) = b.
Soient a et b deux nombres. La fonction qui à tout nombre x associe le nombre ax + b est appelée fonction affine.
On note f : x ↦ ax + b.
– Si b = 0, f est une fonction linéaire.
– Si a = 0, f est une fonction constante : f(x) = b.
Propriété – Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite.
– a est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a < 0).
– b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b), car f(0) = b.
La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite.
– a est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a < 0).
– b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b), car f(0) = b.
Propriété – Accroissements proportionnels
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x :
pour tous nombres x1 ≠ x2 : a = [f(x2) − f(x1)] / (x2 − x1)
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x :
pour tous nombres x1 ≠ x2 : a = [f(x2) − f(x1)] / (x2 − x1)
Méthode – Tracer la droite représentant une fonction affine
Il suffit de deux points : on calcule les images de deux valeurs de x (par exemple 0 et une autre valeur simple), on place les deux points et on trace la droite à la règle. On peut vérifier avec un troisième point.
Il suffit de deux points : on calcule les images de deux valeurs de x (par exemple 0 et une autre valeur simple), on place les deux points et on trace la droite à la règle. On peut vérifier avec un troisième point.
Exemple résolu
Tracer la droite (d) représentant f(x) = −2x + 3.
f(0) = 3 → point A(0 ; 3) (ordonnée à l'origine).
f(2) = −4 + 3 = −1 → point B(2 ; −1).
Vérification : f(1) = 1 → point C(1 ; 1), qui est bien aligné avec A et B.
Le coefficient directeur −2 signifie : quand on avance de 1 vers la droite, on descend de 2.
Tracer la droite (d) représentant f(x) = −2x + 3.
f(0) = 3 → point A(0 ; 3) (ordonnée à l'origine).
f(2) = −4 + 3 = −1 → point B(2 ; −1).
Vérification : f(1) = 1 → point C(1 ; 1), qui est bien aligné avec A et B.
Le coefficient directeur −2 signifie : quand on avance de 1 vers la droite, on descend de 2.
3. Déterminer l'expression d'une fonction affine
Méthode – À partir de deux images (ou de deux points)
Soit f(x) = ax + b avec f(x1) = y1 et f(x2) = y2.
1. Calculer le coefficient directeur : a = y2 − y1x2 − x1.
2. Calculer b en utilisant l'une des deux images : b = y1 − a x1.
3. Écrire f(x) = ax + b et vérifier avec l'autre point.
Soit f(x) = ax + b avec f(x1) = y1 et f(x2) = y2.
1. Calculer le coefficient directeur : a = y2 − y1x2 − x1.
2. Calculer b en utilisant l'une des deux images : b = y1 − a x1.
3. Écrire f(x) = ax + b et vérifier avec l'autre point.
Exemple résolu
f est affine avec f(1) = 5 et f(4) = −1.
a = −1 − 54 − 1 = −63 = −2.
f(1) = 5 ⇒ −2 × 1 + b = 5 ⇒ b = 7.
Donc f(x) = −2x + 7. Vérification : f(4) = −8 + 7 = −1. ✓
f est affine avec f(1) = 5 et f(4) = −1.
a = −1 − 54 − 1 = −63 = −2.
f(1) = 5 ⇒ −2 × 1 + b = 5 ⇒ b = 7.
Donc f(x) = −2x + 7. Vérification : f(4) = −8 + 7 = −1. ✓
Méthode – Lire graphiquement a et b
– b : ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
– a : on choisit deux points de la droite à coordonnées entières ; a = différence des ordonnéesdifférence des abscisses. Ou bien : on part d'un point, on avance de 1 en abscisse et on lit de combien on monte (a > 0) ou descend (a < 0).
– b : ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
– a : on choisit deux points de la droite à coordonnées entières ; a = différence des ordonnéesdifférence des abscisses. Ou bien : on part d'un point, on avance de 1 en abscisse et on lit de combien on monte (a > 0) ou descend (a < 0).
Exemple résolu
Une droite passe par les points (0 ; −1) et (3 ; 5). Alors b = −1 et a = 5 − (−1)3 − 0 = 63 = 2. La fonction représentée est g(x) = 2x − 1
Une droite passe par les points (0 ; −1) et (3 ; 5). Alors b = −1 et a = 5 − (−1)3 − 0 = 63 = 2. La fonction représentée est g(x) = 2x − 1
4. Fonctions affines et pourcentages
Propriété
– Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par (1 + t100).
– Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par (1 − t100).
Ces situations sont modélisées par des fonctions linéaires.
– Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par (1 + t100).
– Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par (1 − t100).
Ces situations sont modélisées par des fonctions linéaires.
Exemple résolu
Un article coûte x €. Après une remise de 30 %, son prix est f(x) = (1 − 30100)x = 0,7x. Un article à 45 € coûte 0,7 × 45 = 31,50 €.
Après une hausse de 8 %, un prix x devient g(x) = 1,08x. Un loyer de 650 € devient 702 €.
Deux baisses successives de 20 % : x ↦ 0,8 × 0,8 x = 0,64x, soit une baisse globale de 36 % (et non 40 %).
Un article coûte x €. Après une remise de 30 %, son prix est f(x) = (1 − 30100)x = 0,7x. Un article à 45 € coûte 0,7 × 45 = 31,50 €.
Après une hausse de 8 %, un prix x devient g(x) = 1,08x. Un loyer de 650 € devient 702 €.
Deux baisses successives de 20 % : x ↦ 0,8 × 0,8 x = 0,64x, soit une baisse globale de 36 % (et non 40 %).
Exemple résolu (type brevet) – Comparaison de tarifs
Une salle de sport propose : Tarif 1 : 8 € par séance. Tarif 2 : abonnement de 40 € puis 4 € par séance. Tarif 3 : forfait illimité 100 €.
a) Expressions : f1(x) = 8x (linéaire) ; f2(x) = 4x + 40 (affine) ; f3(x) = 100 (constante).
b) Pour 12 séances : f1(12) = 96 ; f2(12) = 88 ; f3(12) = 100. Le tarif 2 est le plus avantageux.
c) Tarif 1 et 2 égaux quand 8x = 4x + 40 ⇒ x = 10. Graphiquement, les droites se coupent au point (10 ; 80).
d) Tarif 3 plus avantageux que tarif 2 quand 100 < 4x + 40 ⇒ x > 15, soit à partir de 16 séances.
Une salle de sport propose : Tarif 1 : 8 € par séance. Tarif 2 : abonnement de 40 € puis 4 € par séance. Tarif 3 : forfait illimité 100 €.
a) Expressions : f1(x) = 8x (linéaire) ; f2(x) = 4x + 40 (affine) ; f3(x) = 100 (constante).
b) Pour 12 séances : f1(12) = 96 ; f2(12) = 88 ; f3(12) = 100. Le tarif 2 est le plus avantageux.
c) Tarif 1 et 2 égaux quand 8x = 4x + 40 ⇒ x = 10. Graphiquement, les droites se coupent au point (10 ; 80).
d) Tarif 3 plus avantageux que tarif 2 quand 100 < 4x + 40 ⇒ x > 15, soit à partir de 16 séances.