Fonctions linéaires et affines — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Fonctions linéaires
Définition
Soit a un nombre. La fonction qui à tout nombre x associe le nombre a × x est appelée fonction linéaire de coefficient a.
On note f : x ↦ ax, ou f(x) = ax.
On note f : x ↦ ax, ou f(x) = ax.
PropriétéLien avec la proportionnalité
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit une situation de proportionnalité : le tableau de valeurs de f est un tableau de proportionnalité de coefficient a.
Réciproquement, toute situation de proportionnalité de coefficient a est modélisée par la fonction linéaire x ↦ ax.
Réciproquement, toute situation de proportionnalité de coefficient a est modélisée par la fonction linéaire x ↦ ax.
PropriétéReprésentation graphique
La représentation graphique d'une fonction linéaire f(x) = ax est une droite passant par l'origine du repère. Le nombre a est le coefficient directeur (ou pente) de la droite.
– Si a > 0, la droite « monte » ; si a < 0, elle « descend » ; si a = 0, c'est l'axe des abscisses.
– Si a > 0, la droite « monte » ; si a < 0, elle « descend » ; si a = 0, c'est l'axe des abscisses.
2. Fonctions affines
Définition
Soient a et b deux nombres. La fonction qui à tout nombre x associe le nombre ax + b est appelée fonction affine.
On note f : x ↦ ax + b.
– Si b = 0, f est une fonction linéaire.
– Si a = 0, f est une fonction constante : f(x) = b.
On note f : x ↦ ax + b.
– Si b = 0, f est une fonction linéaire.
– Si a = 0, f est une fonction constante : f(x) = b.
PropriétéReprésentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite.
– a est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a < 0).
– b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b), car f(0) = b.
– a est le coefficient directeur : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a (ou diminue si a < 0).
– b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b), car f(0) = b.
PropriétéAccroissements proportionnels
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x :
pour tous nombres x1 ≠ x2 : a = [f(x2) − f(x1)] / (x2 − x1)
pour tous nombres x1 ≠ x2 : a = [f(x2) − f(x1)] / (x2 − x1)
4. Fonctions affines et pourcentages
Propriété
– Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par (1 + t100).
– Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par (1 − t100).
Ces situations sont modélisées par des fonctions linéaires.
– Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par (1 − t100).
Ces situations sont modélisées par des fonctions linéaires.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Déterminer une fonction linéaire connaissant une image
Si f est linéaire et f(x0) = y0 avec x0 ≠ 0, alors a = y0x0
Méthode 2Tracer la droite représentant une fonction affine
Il suffit de deux points : on calcule les images de deux valeurs de x (par exemple 0 et une autre valeur simple), on place les deux points et on trace la droite à la règle. On peut vérifier avec un troisième point.
Méthode 3À partir de deux images (ou de deux points)
Soit f(x) = ax + b avec f(x1) = y1 et f(x2) = y2.
1. Calculer le coefficient directeur : a = y2 − y1x2 − x1.
2. Calculer b en utilisant l'une des deux images : b = y1 − a x1.
3. Écrire f(x) = ax + b et vérifier avec l'autre point.
1. Calculer le coefficient directeur : a = y2 − y1x2 − x1.
2. Calculer b en utilisant l'une des deux images : b = y1 − a x1.
3. Écrire f(x) = ax + b et vérifier avec l'autre point.
Méthode 4Lire graphiquement a et b
– b : ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
– a : on choisit deux points de la droite à coordonnées entières ; a = différence des ordonnéesdifférence des abscisses. Ou bien : on part d'un point, on avance de 1 en abscisse et on lit de combien on monte (a > 0) ou descend (a < 0).
– a : on choisit deux points de la droite à coordonnées entières ; a = différence des ordonnéesdifférence des abscisses. Ou bien : on part d'un point, on avance de 1 en abscisse et on lit de combien on monte (a > 0) ou descend (a < 0).
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