Exercices corrigés — Équations et inéquations (3e)

a) On regroupe les x dans le membre de gauche en soustrayant 3x aux deux membres, et les nombres à droite en soustrayant 4 : 7x − 3x = −12 − 4, soit 4x = −16. On divise les deux membres par 4 : x = −4. Vérification : 7 × (−4) + 4 = −24 et 3 × (−4) − 12 = −24.
b) On développe d'abord : 6x − 2 = 4x + 9. Puis 6x − 4x = 9 + 2, soit 2x = 11, et x = 112 = 5,5. Vérification : 2(3 × 5,5 − 1) = 2 × 15,5 = 31 et 4 × 5,5 + 9 = 31.
c) On multiplie les deux membres par 4 pour faire disparaître le dénominateur : x − 2 = 12, donc x = 14. Vérification : 14 − 24 = 124 = 3.

a) Pour éliminer les dénominateurs 2 et 5, on multiplie les deux membres par 10, leur plus petit multiple commun : 5x + 30 = 2x + 60. Alors 5x − 2x = 60 − 30, soit 3x = 30, et x = 10. Vérification : 102 + 3 = 8 et 105 + 6 = 8.
b) On divise les deux membres par 2 : x² = 25. Un nombre dont le carré vaut 25 est 5 ou −5 : l'équation a deux solutions, 5 et −5.
c) x² + 9 = 0 équivaut à x² = −9. Or un carré n'est jamais négatif : aucun nombre ne convient. L'équation n'a pas de solution.

a) L'équation est déjà sous la forme d'un produit égal à 0. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : 3x + 9 = 0 ou 2 − x = 0, soit x = −3 ou x = 2. Deux solutions : −3 et 2.
b) On factorise d'abord avec l'identité a² − b² = (a − b)(a + b) : x² − 49 = (x − 7)(x + 7). L'équation (x − 7)(x + 7) = 0 donne x = 7 ou x = −7.
c) On divise par 4 : x² = 94. Les nombres dont le carré vaut 94 sont 32 et −32, car (32)² = 94. Deux solutions : 32 et −32.

a) Il ne faut pas diviser par x, qui pourrait être nul : on factorise. Le facteur commun est 2x : 2x² − 8x = 2x(x − 4). L'équation 2x(x − 4) = 0 donne 2x = 0 ou x − 4 = 0, soit x = 0 ou x = 4. Deux solutions : 0 et 4. La solution 0 est souvent oubliée : c'est la trace du facteur 2x.
b) C'est une différence de deux carrés, avec a = 2x + 1 et b = x − 3 : (2x + 1)² − (x − 3)² = [(2x + 1) − (x − 3)][(2x + 1) + (x − 3)] = (x + 4)(3x − 2).
L'équation (x + 4)(3x − 2) = 0 donne x + 4 = 0 ou 3x − 2 = 0, soit x = −4 ou x = 23. Deux solutions : −4 et 23.

a) On soustrait x puis on ajoute 8 aux deux membres : 3x − x ≤ 2 + 8, soit 2x ≤ 10. On divise par 2, nombre positif, sans changer le sens : x ≤ 5. Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 5 : sur la droite graduée, on colorie à gauche de 5, avec un crochet fermé en 5 puisque 5 est solution.
b) On soustrait 7 aux deux membres : −2x < 1 − 7, soit −2x < −6. On divise les deux membres par −2 ; comme ce nombre est négatif, le sens de l'inégalité change : x > 3. Les solutions sont les nombres strictement supérieurs à 3 : on colorie à droite de 3, avec un crochet ouvert en 3 puisque 3 n'est pas solution. Vérification avec x = 4 : 7 − 8 = −1, et −1 < 1.

Soit x l'âge de Tom aujourd'hui, en années. Léa a 3 ans de plus, donc x + 3 ans.
Dans 5 ans, Tom aura x + 5 ans et Léa (x + 3) + 5 = x + 8 ans. La somme de leurs âges sera 29 : (x + 5) + (x + 8) = 29.
On réduit : 2x + 13 = 29, donc 2x = 16 et x = 8.
Tom a 8 ans aujourd'hui. Vérification : dans 5 ans, Tom aura 13 ans et Léa 16 ans, et 13 + 16 = 29.

Soit x le nombre de plants vendus dans la journée. La recette est 3x € et les frais 120 €, donc le bénéfice est 3x − 120.
On veut un bénéfice strictement supérieur à 150 € : 3x − 120 > 150. On ajoute 120 aux deux membres : 3x > 270 ; on divise par 3 : x > 90.
x est un nombre entier de plants, strictement supérieur à 90 : le plus petit qui convient est 91. Il doit vendre au minimum 91 plants. Vérification : 3 × 91 − 120 = 153 > 150, alors que 3 × 90 − 120 = 150 n'est pas strictement supérieur à 150.

a) Le périmètre est la somme des trois côtés : x + (x + 3) + (2x − 1) = 4x + 2. Il vaut 26, donc 4x + 2 = 26, soit 4x = 24 et x = 6.
Les côtés mesurent 6 cm, 6 + 3 = 9 cm et 2 × 6 − 1 = 11 cm. Vérification : 6 + 9 + 11 = 26.
b) Le plus grand côté mesure 11 cm. D'une part 11² = 121 ; d'autre part 6² + 9² = 36 + 81 = 117. Comme 121 ≠ 117, l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.