Équations et inéquations — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Équations du premier degré
Définition
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée x). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie : ce sont les solutions.
PropriétéRègles de transformation
On obtient une équation ayant les mêmes solutions lorsque :
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.
2. Équation produit nul
Propriété
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0
3. Équations du type x2 = a
Propriété
Soit a un nombre :
– si a > 0, l'équation x2 = a a deux solutions : √a et −√a ;
– si a = 0, l'équation x2 = 0 a une seule solution : 0 ;
– si a < 0, l'équation x2 = a n'a aucune solution (un carré n'est jamais négatif).
– si a > 0, l'équation x2 = a a deux solutions : √a et −√a ;
– si a = 0, l'équation x2 = 0 a une seule solution : 0 ;
– si a < 0, l'équation x2 = a n'a aucune solution (un carré n'est jamais négatif).
DéfinitionRacine carrée
Pour a ≥ 0, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)2 = a.
Exemples : √49 = 7 ; √0 = 0 ; √2 ≈ 1,414 (nombre non décimal).
Exemples : √49 = 7 ; √0 = 0 ; √2 ≈ 1,414 (nombre non décimal).
4. Inéquations du premier degré
Définition
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (avec <, >, ≤ ou ≥). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie. L'ensemble des solutions est en général un intervalle qu'on représente sur une droite graduée.
PropriétéRègles de transformation
On obtient une inéquation de même sens ayant les mêmes solutions lorsque :
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre strictement positif.
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre strictement positif.
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Résoudre une équation du premier degré
1. Développer et réduire chaque membre si nécessaire.
2. Regrouper les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre.
3. Diviser par le coefficient de x.
4. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.
2. Regrouper les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre.
3. Diviser par le coefficient de x.
4. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.
Méthode 2Résoudre une équation produit nul
1. Si nécessaire, mettre l'équation sous la forme (…)(…) = 0 en factorisant.
2. Appliquer la propriété : chaque facteur peut être nul.
3. Résoudre chacune des équations du premier degré obtenues.
4. Conclure : l'équation a (en général) deux solutions.
2. Appliquer la propriété : chaque facteur peut être nul.
3. Résoudre chacune des équations du premier degré obtenues.
4. Conclure : l'équation a (en général) deux solutions.
Méthode 3Représenter les solutions sur une droite graduée
On place la valeur limite sur une droite graduée. On hachure (ou on barre) la partie qui ne contient pas les solutions et on colorie la partie qui contient les solutions.
– Crochet fermé [ ou ] tourné vers les solutions si la valeur limite est solution (≤ ou ≥) ;
– Crochet ouvert ] ou [ tourné vers l'extérieur si la valeur limite n'est pas solution (< ou >).
– Crochet fermé [ ou ] tourné vers les solutions si la valeur limite est solution (≤ ou ≥) ;
– Crochet ouvert ] ou [ tourné vers l'extérieur si la valeur limite n'est pas solution (< ou >).
Méthode 4Résoudre un problème par une équation
1. Choisir l'inconnue : « Soit x le … » (préciser l'unité).
2. Traduire l'énoncé par une équation (ou une inéquation).
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la solution a un sens (positive, entière si nécessaire…).
5. Conclure par une phrase répondant à la question posée.
2. Traduire l'énoncé par une équation (ou une inéquation).
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la solution a un sens (positive, entière si nécessaire…).
5. Conclure par une phrase répondant à la question posée.
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