Équations et inéquations — cours de 3e
Équations du premier degré, Équation produit nul, Équations du type x2 = a, Inéquations du premier degré Lecture ≈ 6 min.
1. Équations du premier degré
Définition
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée x). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie : ce sont les solutions.
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée x). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie : ce sont les solutions.
Propriété – Règles de transformation
On obtient une équation ayant les mêmes solutions lorsque :
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.
On obtient une équation ayant les mêmes solutions lorsque :
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre non nul.
Méthode – Résoudre une équation du premier degré
1. Développer et réduire chaque membre si nécessaire.
2. Regrouper les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre.
3. Diviser par le coefficient de x.
4. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.
1. Développer et réduire chaque membre si nécessaire.
2. Regrouper les termes en x dans un membre, les nombres dans l'autre.
3. Diviser par le coefficient de x.
4. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.
Exemple résolu
Résoudre 5x − 7 = 2x + 8.
5x − 2x = 8 + 7
3x = 15
x = 153 = 5.
Vérification : 5 × 5 − 7 = 18 et 2 × 5 + 8 = 18. ✓
Résoudre 5x − 7 = 2x + 8.
5x − 2x = 8 + 7
3x = 15
x = 153 = 5.
Vérification : 5 × 5 − 7 = 18 et 2 × 5 + 8 = 18. ✓
Exemple résolu
Résoudre 3(x − 2) = 7 − 2(x + 1).
3x − 6 = 7 − 2x − 2
3x − 6 = 5 − 2x
3x + 2x = 5 + 6
5x = 11
x = 115 = 2,2
Résoudre 3(x − 2) = 7 − 2(x + 1).
3x − 6 = 7 − 2x − 2
3x − 6 = 5 − 2x
3x + 2x = 5 + 6
5x = 11
x = 115 = 2,2
Exemple résolu – Avec des fractions
Résoudre x3 + 2 = x2 − 1.
On multiplie tout par 6 : 2x + 12 = 3x − 6
12 + 6 = 3x − 2x
x = 18.
Résoudre x3 + 2 = x2 − 1.
On multiplie tout par 6 : 2x + 12 = 3x − 6
12 + 6 = 3x − 2x
x = 18.
2. Équation produit nul
Propriété
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0
Méthode – Résoudre une équation produit nul
1. Si nécessaire, mettre l'équation sous la forme (…)(…) = 0 en factorisant.
2. Appliquer la propriété : chaque facteur peut être nul.
3. Résoudre chacune des équations du premier degré obtenues.
4. Conclure : l'équation a (en général) deux solutions.
1. Si nécessaire, mettre l'équation sous la forme (…)(…) = 0 en factorisant.
2. Appliquer la propriété : chaque facteur peut être nul.
3. Résoudre chacune des équations du premier degré obtenues.
4. Conclure : l'équation a (en général) deux solutions.
Exemple résolu
Résoudre (2x − 6)(x + 5) = 0.
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0
2x = 6 ou x = −5
x = 3 ou x = −5.
L'équation a deux solutions : 3 et −5.
Résoudre (2x − 6)(x + 5) = 0.
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :
2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0
2x = 6 ou x = −5
x = 3 ou x = −5.
L'équation a deux solutions : 3 et −5.
Exemple résolu – Il faut d'abord factoriser
Résoudre (x + 1)2 − 16 = 0.
(x + 1)2 − 42 = 0
(x + 1 + 4)(x + 1 − 4) = 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x + 5 = 0 ou x − 3 = 0
x = −5 ou x = 3. Solutions : −5 et 3.
Résoudre (x + 1)2 − 16 = 0.
(x + 1)2 − 42 = 0
(x + 1 + 4)(x + 1 − 4) = 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x + 5 = 0 ou x − 3 = 0
x = −5 ou x = 3. Solutions : −5 et 3.
3. Équations du type x2 = a
Propriété
Soit a un nombre :
– si a > 0, l'équation x2 = a a deux solutions : √a et −√a ;
– si a = 0, l'équation x2 = 0 a une seule solution : 0 ;
– si a < 0, l'équation x2 = a n'a aucune solution (un carré n'est jamais négatif).
Soit a un nombre :
– si a > 0, l'équation x2 = a a deux solutions : √a et −√a ;
– si a = 0, l'équation x2 = 0 a une seule solution : 0 ;
– si a < 0, l'équation x2 = a n'a aucune solution (un carré n'est jamais négatif).
Définition – Racine carrée
Pour a ≥ 0, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)2 = a.
Exemples : √49 = 7 ; √0 = 0 ; √2 ≈ 1,414 (nombre non décimal).
Pour a ≥ 0, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)2 = a.
Exemples : √49 = 7 ; √0 = 0 ; √2 ≈ 1,414 (nombre non décimal).
Exemple résolu
x2 = 81 : solutions 9 et −9.
x2 = 5 : solutions √5 et −√5 (soit environ 2,24 et −2,24).
x2 = −4 : aucune solution.
3x2 − 75 = 0 : 3x2 = 75 ; x2 = 25 ; x = 5 ou x = −5.
x2 = 81 : solutions 9 et −9.
x2 = 5 : solutions √5 et −√5 (soit environ 2,24 et −2,24).
x2 = −4 : aucune solution.
3x2 − 75 = 0 : 3x2 = 75 ; x2 = 25 ; x = 5 ou x = −5.
4. Inéquations du premier degré
Définition
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (avec <, >, ≤ ou ≥). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie. L'ensemble des solutions est en général un intervalle qu'on représente sur une droite graduée.
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (avec <, >, ≤ ou ≥). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'inégalité est vraie. L'ensemble des solutions est en général un intervalle qu'on représente sur une droite graduée.
Propriété – Règles de transformation
On obtient une inéquation de même sens ayant les mêmes solutions lorsque :
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre strictement positif.
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.
On obtient une inéquation de même sens ayant les mêmes solutions lorsque :
– on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres ;
– on multiplie ou on divise les deux membres par un même nombre strictement positif.
Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre strictement négatif, on doit changer le sens de l'inégalité.
Exemple
3 < 5, mais en multipliant par −2 : −6 > −10. Le sens de l'inégalité a changé.
3 < 5, mais en multipliant par −2 : −6 > −10. Le sens de l'inégalité a changé.
Méthode – Représenter les solutions sur une droite graduée
On place la valeur limite sur une droite graduée. On hachure (ou on barre) la partie qui ne contient pas les solutions et on colorie la partie qui contient les solutions.
– Crochet fermé [ ou ] tourné vers les solutions si la valeur limite est solution (≤ ou ≥) ;
– Crochet ouvert ] ou [ tourné vers l'extérieur si la valeur limite n'est pas solution (< ou >).
On place la valeur limite sur une droite graduée. On hachure (ou on barre) la partie qui ne contient pas les solutions et on colorie la partie qui contient les solutions.
– Crochet fermé [ ou ] tourné vers les solutions si la valeur limite est solution (≤ ou ≥) ;
– Crochet ouvert ] ou [ tourné vers l'extérieur si la valeur limite n'est pas solution (< ou >).
Exemple résolu
Résoudre 4x − 3 > 2x + 7.
4x − 2x > 7 + 3
2x > 10
x > 5.
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 5.
Résoudre 4x − 3 > 2x + 7.
4x − 2x > 7 + 3
2x > 10
x > 5.
Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 5.
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5 (5 exclu, crochet ouvert vers la gauche)
Exemple résolu – Division par un nombre négatif
Résoudre 5 − 3x ≤ 2x − 10.
−3x − 2x ≤ −10 − 5
−5x ≤ −15
On divise par −5 (négatif), on change le sens : x ≥ 3.
Solutions : tous les nombres supérieurs ou égaux à 3 (3 inclus, crochet fermé [ en 3, partie coloriée vers la droite).
Résoudre 5 − 3x ≤ 2x − 10.
−3x − 2x ≤ −10 − 5
−5x ≤ −15
On divise par −5 (négatif), on change le sens : x ≥ 3.
Solutions : tous les nombres supérieurs ou égaux à 3 (3 inclus, crochet fermé [ en 3, partie coloriée vers la droite).
5. Mise en équation d'un problème
Méthode – Résoudre un problème par une équation
1. Choisir l'inconnue : « Soit x le … » (préciser l'unité).
2. Traduire l'énoncé par une équation (ou une inéquation).
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la solution a un sens (positive, entière si nécessaire…).
5. Conclure par une phrase répondant à la question posée.
1. Choisir l'inconnue : « Soit x le … » (préciser l'unité).
2. Traduire l'énoncé par une équation (ou une inéquation).
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la solution a un sens (positive, entière si nécessaire…).
5. Conclure par une phrase répondant à la question posée.
Exemple résolu (type brevet)
Une salle de cinéma propose deux tarifs : tarif A : 9 € la séance ; tarif B : abonnement annuel de 30 € puis 5,50 € la séance. À partir de combien de séances par an le tarif B est-il plus avantageux ?
Soit x le nombre de séances. Tarif A : 9x. Tarif B : 30 + 5,5x.
Le tarif B est plus avantageux si 30 + 5,5x < 9x
30 < 9x − 5,5x
30 < 3,5x
x > 303,5 soit x > 8,57…
Comme x est un nombre entier de séances : à partir de 9 séances, le tarif B est plus avantageux.
Une salle de cinéma propose deux tarifs : tarif A : 9 € la séance ; tarif B : abonnement annuel de 30 € puis 5,50 € la séance. À partir de combien de séances par an le tarif B est-il plus avantageux ?
Soit x le nombre de séances. Tarif A : 9x. Tarif B : 30 + 5,5x.
Le tarif B est plus avantageux si 30 + 5,5x < 9x
30 < 9x − 5,5x
30 < 3,5x
x > 303,5 soit x > 8,57…
Comme x est un nombre entier de séances : à partir de 9 séances, le tarif B est plus avantageux.
Exemple résolu – Géométrie
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 cm. Son périmètre vaut 36 cm. Quelles sont ses dimensions ?
Soit x la largeur (en cm). La longueur est x + 4.
Périmètre : 2(x + x + 4) = 36 ; 2(2x + 4) = 36 ; 4x + 8 = 36 ; 4x = 28 ; x = 7.
La largeur mesure 7 cm et la longueur 11 cm. Vérification : 2 × (7 + 11) = 36. ✓
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 cm. Son périmètre vaut 36 cm. Quelles sont ses dimensions ?
Soit x la largeur (en cm). La longueur est x + 4.
Périmètre : 2(x + x + 4) = 36 ; 2(2x + 4) = 36 ; 4x + 8 = 36 ; 4x = 28 ; x = 7.
La largeur mesure 7 cm et la longueur 11 cm. Vérification : 2 × (7 + 11) = 36. ✓