Exercices corrigés — Calcul littéral (3e)

H : différence de deux carrés, avec a = x − 4 et b = 3. H = (x − 4 − 3)(x − 4 + 3) = (x − 7)(x − 1).
I : on reconnaît la forme a² − 2ab + b² avec a = x et b = 5 ; on vérifie que le terme du milieu vaut bien 2 × x × 5 = 10x. I = (x − 5)².
Vérification : (x − 5)² = x² − 10x + 25.

a) (3x − 1)² = 9x² − 6x + 1 et (x + 2)(3x − 1) = 3x² − x + 6x − 2 = 3x² + 5x − 2. Donc P = 9x² − 6x + 1 − [3x² + 5x − 2] = 9x² − 6x + 1 − 3x² − 5x + 2 = 6x² − 11x + 3.
b) Le facteur (3x − 1) est commun aux deux termes : P = (3x − 1)[(3x − 1) − (x + 2)] = (3x − 1)(3x − 1 − x − 2) = (3x − 1)(2x − 3).
Contrôle : (3x − 1)(2x − 3) = 6x² − 9x − 2x + 3 = 6x² − 11x + 3, on retrouve bien a).
c) Pour x = 13, la forme factorisée est la plus commode : 3 × 13 − 1 = 0, donc P = 0 × (23 − 3) = 0. Avec la forme développée, on aurait 69 − 113 + 3 = 23 − 113 + 93 = 0 : même résultat, mais plus de calculs. C'est tout l'intérêt de factoriser.