Exercices corrigés — Calcul littéral (3e)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Challenge ». Voir les 8 exercices.

Exercice 7 Challenge

Programme de calcul : choisir un nombre, le multiplier par 2, ajouter 5, multiplier le résultat par le nombre de départ, soustraire 25. Montrer que le résultat vaut 2x² + 5x − 25 et qu'il est égal à (2x − 5)(x + 5).

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Correction détaillée

On suit le programme avec le nombre x : multiplier par 2 donne 2x ; ajouter 5 donne 2x + 5 ; multiplier par le nombre de départ donne (2x + 5) × x = 2x² + 5x ; soustraire 25 donne 2x² + 5x − 25.
On développe (2x − 5)(x + 5) par double distributivité : 2x × x + 2x × 5 − 5 × x − 5 × 5 = 2x² + 10x − 5x − 25 = 2x² + 5x − 25.
Les deux expressions sont égales : le résultat du programme s'écrit aussi (2x − 5)(x + 5). Cette forme montre par exemple que le résultat est nul pour x = 52 et pour x = −5.

Exercice 8 Challenge

Démontrer que, pour tout nombre x, (x + 1)² − (x − 1)² = 4x. En déduire, sans calculatrice, la valeur de 51² − 49².

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Correction détaillée

On développe chaque carré avec les identités remarquables : (x + 1)² = x² + 2x + 1 et (x − 1)² = x² − 2x + 1.
(x + 1)² − (x − 1)² = x² + 2x + 1 − [x² − 2x + 1] = x² + 2x + 1 − x² + 2x − 1 = 4x.
Cette égalité est vraie pour tout nombre x : c'est une identité. On l'applique avec x = 50, car 51 = 50 + 1 et 49 = 50 − 1 : 51² − 49² = 4 × 50 = 200.
Vérification : 51² = 2 601 et 49² = 2 401, et 2 601 − 2 401 = 200.

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