Calcul littéral — cours de 3e
Vocabulaire et rappels, Développer, Identités remarquables, Factoriser Lecture ≈ 5 min.
1. Vocabulaire et rappels
Définition
Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres (variables).
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).
Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit.
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables.
Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres (variables).
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence).
Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit.
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes semblables.
Propriété – Conventions d'écriture
On n'écrit pas le signe × entre un nombre et une lettre, ni entre deux lettres, ni devant une parenthèse : 3 × x = 3x ; x × y = xy ; 2 × (x + 1) = 2(x + 1) ; x × x = x2 ; 1 × x = x.
On n'écrit pas le signe × entre un nombre et une lettre, ni entre deux lettres, ni devant une parenthèse : 3 × x = 3x ; x × y = xy ; 2 × (x + 1) = 2(x + 1) ; x × x = x2 ; 1 × x = x.
2. Développer
Propriété – Distributivité simple
Pour tous nombres k, a, b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Pour tous nombres k, a, b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Propriété – Double distributivité
Pour tous nombres a, b, c, d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Pour tous nombres a, b, c, d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Exemple résolu
A = 3(2x − 5) = 6x − 15.
B = −2x(x + 4) = −2x2 − 8x.
C = (x + 3)(2x − 1) = x × 2x + x × (−1) + 3 × 2x + 3 × (−1) = 2x2 − x + 6x − 3 = 2x2 + 5x − 3.
D = (3x − 2)(4 − x) = 12x − 3x2 − 8 + 2x = −3x2 + 14x − 8.
A = 3(2x − 5) = 6x − 15.
B = −2x(x + 4) = −2x2 − 8x.
C = (x + 3)(2x − 1) = x × 2x + x × (−1) + 3 × 2x + 3 × (−1) = 2x2 − x + 6x − 3 = 2x2 + 5x − 3.
D = (3x − 2)(4 − x) = 12x − 3x2 − 8 + 2x = −3x2 + 14x − 8.
Méthode – Développer et réduire une expression avec un signe moins devant une parenthèse
Un signe « − » devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur. On développe d'abord entre crochets, puis on retire le signe.
Un signe « − » devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l'intérieur. On développe d'abord entre crochets, puis on retire le signe.
Exemple résolu
E = 5x − (x + 2)(x − 3)
E = 5x − [x2 − 3x + 2x − 6]
E = 5x − [x2 − x − 6]
E = 5x − x2 + x + 6
E = −x2 + 6x + 6.
E = 5x − (x + 2)(x − 3)
E = 5x − [x2 − 3x + 2x − 6]
E = 5x − [x2 − x − 6]
E = 5x − x2 + x + 6
E = −x2 + 6x + 6.
3. Identités remarquables
Propriété – Les trois identités remarquables
Pour tous nombres a et b :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Pour tous nombres a et b :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
ExempleExemple – Justification de (a + b)2
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.
Géométriquement : un carré de côté a + b se découpe en un carré de côté a, un carré de côté b et deux rectangles de dimensions a et b.
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.
Géométriquement : un carré de côté a + b se découpe en un carré de côté a, un carré de côté b et deux rectangles de dimensions a et b.
Exemple résolu – Développer avec les identités
(x + 5)2 = x2 + 2 × x × 5 + 52 = x2 + 10x + 25.
(3x − 2)2 = (3x)2 − 2 × 3x × 2 + 22 = 9x2 − 12x + 4.
(2x + 7)(2x − 7) = (2x)2 − 72 = 4x2 − 49.
Calcul mental : 1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 ; 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499.
(x + 5)2 = x2 + 2 × x × 5 + 52 = x2 + 10x + 25.
(3x − 2)2 = (3x)2 − 2 × 3x × 2 + 22 = 9x2 − 12x + 4.
(2x + 7)(2x − 7) = (2x)2 − 72 = 4x2 − 49.
Calcul mental : 1012 = (100 + 1)2 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 ; 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499.
4. Factoriser
Méthode – Factoriser avec un facteur commun
On repère un facteur présent dans chaque terme (un nombre, une lettre ou une parenthèse), on l'écrit devant, et on met entre parenthèses ce qui reste de chaque terme :
ka + kb = k(a + b)
On repère un facteur présent dans chaque terme (un nombre, une lettre ou une parenthèse), on l'écrit devant, et on met entre parenthèses ce qui reste de chaque terme :
ka + kb = k(a + b)
Exemple résolu
F = 6x2 + 9x = 3x × 2x + 3x × 3 = 3x(2x + 3).
G = (x + 1)(2x − 3) + (x + 1)(x + 4) = (x + 1)[(2x − 3) + (x + 4)] = (x + 1)(3x + 1).
H = (2x − 5)(x + 3) − (2x − 5)(4x − 1) = (2x − 5)[(x + 3) − (4x − 1)] = (2x − 5)(x + 3 − 4x + 1) = (2x − 5)(−3x + 4).
F = 6x2 + 9x = 3x × 2x + 3x × 3 = 3x(2x + 3).
G = (x + 1)(2x − 3) + (x + 1)(x + 4) = (x + 1)[(2x − 3) + (x + 4)] = (x + 1)(3x + 1).
H = (2x − 5)(x + 3) − (2x − 5)(4x − 1) = (2x − 5)[(x + 3) − (4x − 1)] = (2x − 5)(x + 3 − 4x + 1) = (2x − 5)(−3x + 4).
Méthode – Factoriser avec une identité remarquable
– Une différence de deux carrés a2 − b2 se factorise en (a + b)(a − b).
– Une expression de la forme a2 + 2ab + b2 se factorise en (a + b)2, et a2 − 2ab + b2 en (a − b)2 (on vérifie que le terme du milieu vaut bien 2ab).
– Une différence de deux carrés a2 − b2 se factorise en (a + b)(a − b).
– Une expression de la forme a2 + 2ab + b2 se factorise en (a + b)2, et a2 − 2ab + b2 en (a − b)2 (on vérifie que le terme du milieu vaut bien 2ab).
Exemple résolu
I = x2 − 36 = x2 − 62 = (x + 6)(x − 6).
J = 9x2 − 25 = (3x)2 − 52 = (3x + 5)(3x − 5).
K = (x + 2)2 − 49 = (x + 2)2 − 72 = (x + 2 + 7)(x + 2 − 7) = (x + 9)(x − 5).
L = x2 + 8x + 16 = x2 + 2 × x × 4 + 42 = (x + 4)2.
M = 4x2 − 12x + 9 = (2x)2 − 2 × 2x × 3 + 32 = (2x − 3)2.
I = x2 − 36 = x2 − 62 = (x + 6)(x − 6).
J = 9x2 − 25 = (3x)2 − 52 = (3x + 5)(3x − 5).
K = (x + 2)2 − 49 = (x + 2)2 − 72 = (x + 2 + 7)(x + 2 − 7) = (x + 9)(x − 5).
L = x2 + 8x + 16 = x2 + 2 × x × 4 + 42 = (x + 4)2.
M = 4x2 − 12x + 9 = (2x)2 − 2 × 2x × 3 + 32 = (2x − 3)2.
5. Programmes de calcul (type brevet)
Exemple résolu
Programme : « Choisir un nombre ; ajouter 3 ; élever au carré ; soustraire le carré du nombre de départ. »
a) Avec 5 : 5 + 3 = 8 ; 82 = 64 ; 64 − 25 = 39.
b) Avec x : (x + 3)2 − x2 = x2 + 6x + 9 − x2 = 6x + 9.
c) Conjecture : le résultat est toujours 6x + 9, c'est-à-dire 6 fois le nombre choisi plus 9. Vérification avec 5 : 6 × 5 + 9 = 39. ✓
Programme : « Choisir un nombre ; ajouter 3 ; élever au carré ; soustraire le carré du nombre de départ. »
a) Avec 5 : 5 + 3 = 8 ; 82 = 64 ; 64 − 25 = 39.
b) Avec x : (x + 3)2 − x2 = x2 + 6x + 9 − x2 = 6x + 9.
c) Conjecture : le résultat est toujours 6x + 9, c'est-à-dire 6 fois le nombre choisi plus 9. Vérification avec 5 : 6 × 5 + 9 = 39. ✓