Exercices corrigés — Calcul littéral (3e)

A : double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. A = 2x × x + 2x × (−4) + 3 × x + 3 × (−4) = 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12.
B : identité (a − b)² = a² − 2ab + b² avec a = x et b = 7. B = x² − 2 × x × 7 + 7² = x² − 14x + 49.
C : identité (a − b)(a + b) = a² − b² avec a = 5 et b = 2x. C = 5² − (2x)² = 25 − 4x².

102² = (100 + 2)² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
98² = (100 − 2)² = 100² − 2 × 100 × 2 + 2² = 10 000 − 400 + 4 = 9 604.
103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10 000 − 9 = 9 991.
Les identités remarquables transforment des multiplications difficiles en sommes de carrés faciles.

On développe chaque morceau séparément. (x + 1)² = x² + 2x + 1 (identité). (x − 2)(x + 3) = x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6 (double distributivité).
Le signe « − » devant le second produit change le signe de chacun de ses termes ; on garde les crochets tant qu'on n'a pas fini : D = x² + 2x + 1 − [x² + x − 6] = x² + 2x + 1 − x² − x + 6.
On réduit : les x² s'annulent, 2x − x = x, 1 + 6 = 7. D = x + 7.
Vérification avec x = 0 : (0 + 1)² − (−2)(3) = 1 + 6 = 7, et 0 + 7 = 7.

E : les deux termes 8x² et 12x ont pour facteur commun 4x. E = 4x × 2x − 4x × 3 = 4x(2x − 3).
F : différence de deux carrés, 25 = 5² et 16x² = (4x)². F = (5 − 4x)(5 + 4x).
G : le facteur (3x + 1) est présent dans les deux termes. G = (3x + 1)[(x − 2) + (2x + 5)] = (3x + 1)(3x + 3). On peut encore factoriser 3x + 3 = 3(x + 1) : G = 3(3x + 1)(x + 1).

H : différence de deux carrés, avec a = x − 4 et b = 3. H = (x − 4 − 3)(x − 4 + 3) = (x − 7)(x − 1).
I : on reconnaît la forme a² − 2ab + b² avec a = x et b = 5 ; on vérifie que le terme du milieu vaut bien 2 × x × 5 = 10x. I = (x − 5)².
Vérification : (x − 5)² = x² − 10x + 25.

a) (3x − 1)² = 9x² − 6x + 1 et (x + 2)(3x − 1) = 3x² − x + 6x − 2 = 3x² + 5x − 2. Donc P = 9x² − 6x + 1 − [3x² + 5x − 2] = 9x² − 6x + 1 − 3x² − 5x + 2 = 6x² − 11x + 3.
b) Le facteur (3x − 1) est commun aux deux termes : P = (3x − 1)[(3x − 1) − (x + 2)] = (3x − 1)(3x − 1 − x − 2) = (3x − 1)(2x − 3).
Contrôle : (3x − 1)(2x − 3) = 6x² − 9x − 2x + 3 = 6x² − 11x + 3, on retrouve bien a).
c) Pour x = 13, la forme factorisée est la plus commode : 3 × 13 − 1 = 0, donc P = 0 × (23 − 3) = 0. Avec la forme développée, on aurait 69 − 113 + 3 = 23 − 113 + 93 = 0 : même résultat, mais plus de calculs. C'est tout l'intérêt de factoriser.

On suit le programme avec le nombre x : multiplier par 2 donne 2x ; ajouter 5 donne 2x + 5 ; multiplier par le nombre de départ donne (2x + 5) × x = 2x² + 5x ; soustraire 25 donne 2x² + 5x − 25.
On développe (2x − 5)(x + 5) par double distributivité : 2x × x + 2x × 5 − 5 × x − 5 × 5 = 2x² + 10x − 5x − 25 = 2x² + 5x − 25.
Les deux expressions sont égales : le résultat du programme s'écrit aussi (2x − 5)(x + 5). Cette forme montre par exemple que le résultat est nul pour x = 52 et pour x = −5.

On développe chaque carré avec les identités remarquables : (x + 1)² = x² + 2x + 1 et (x − 1)² = x² − 2x + 1.
(x + 1)² − (x − 1)² = x² + 2x + 1 − [x² − 2x + 1] = x² + 2x + 1 − x² + 2x − 1 = 4x.
Cette égalité est vraie pour tout nombre x : c'est une identité. On l'applique avec x = 50, car 51 = 50 + 1 et 49 = 50 − 1 : 51² − 49² = 4 × 50 = 200.
Vérification : 51² = 2 601 et 49² = 2 401, et 2 601 − 2 401 = 200.