Exercices corrigés — Arithmétique (3e)

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7.
126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3² × 7.
Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, avec les plus petits exposants : PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42.
On simplifie par 42 : 84126 = 42 × 242 × 3 = 23. La fraction 23 est irréductible, car 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
a) 91 = 7 × 13 et 143 = 11 × 13 : ils ont le diviseur commun 13, donc 91 et 143 ne sont pas premiers entre eux. Leur PGCD est 13.
b) 91 = 7 × 13 et 92 = 2² × 23 : les décompositions n'ont aucun facteur premier commun, donc PGCD(91 ; 92) = 1 : 91 et 92 sont premiers entre eux.
Remarque : deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, car un diviseur commun aux deux diviserait aussi leur différence, qui vaut 1.