Exercices corrigés — Arithmétique (3e)

Par 2 : 2 358 se termine par 8, chiffre pair, donc il est divisible par 2.
Par 3 : la somme des chiffres est 2 + 3 + 5 + 8 = 18, et 18 est divisible par 3, donc 2 358 est divisible par 3.
Par 4 : les deux derniers chiffres forment 58, et 58 = 4 × 14 + 2 n'est pas divisible par 4, donc 2 358 n'est pas divisible par 4.
Par 5 : il ne se termine ni par 0 ni par 5, donc il n'est pas divisible par 5.
Par 9 : la somme des chiffres, 18, est divisible par 9, donc 2 358 est divisible par 9. Vérification : 2 358 = 9 × 262.

On divise par le plus petit nombre premier possible, autant de fois que nécessaire, puis on passe au suivant.
540 ÷ 2 = 270 ; 270 ÷ 2 = 135 ; 135 n'est plus divisible par 2 (impair).
135 ÷ 3 = 45 ; 45 ÷ 3 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 n'est plus divisible par 3.
5 ÷ 5 = 1 : c'est terminé.
On a utilisé deux fois le facteur 2, trois fois le facteur 3 et une fois le facteur 5 : 540 = 2² × 3³ × 5. Vérification : 4 × 27 × 5 = 108 × 5 = 540.

143 : il est impair, la somme de ses chiffres 1 + 4 + 3 = 8 n'est pas divisible par 3, il ne se termine ni par 0 ni par 5, et 143 = 7 × 20 + 3 n'est pas divisible par 7. Par 11 : 11 × 13 = 143. Donc 143 = 11 × 13, il a d'autres diviseurs que 1 et lui-même : 143 n'est pas premier.
151 : on teste les nombres premiers successifs tant que leur carré ne dépasse pas 151. 151 est impair ; 1 + 5 + 1 = 7, non divisible par 3 ; il ne se termine ni par 0 ni par 5 ; 151 = 7 × 21 + 4 ; 151 = 11 × 13 + 8. Le nombre premier suivant est 13, mais 13² = 169 > 151 : on peut s'arrêter.
Aucune division ne tombe juste, donc 151 est premier.

On cherche les diviseurs par paires : chaque fois que 72 = a × b, les nombres a et b sont deux diviseurs de 72.
72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9.
On s'arrête à 8 × 9 car les deux facteurs se rejoignent : le facteur suivant, 9, a déjà été trouvé.
Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72, soit 12 diviseurs. On peut vérifier avec la décomposition 72 = 2³ × 3² : les diviseurs sont les produits 2ⁱ × 3^j avec i de 0 à 3 et j de 0 à 2, ce qui fait bien 4 × 3 = 12 diviseurs.

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2² × 3 × 7.
126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3² × 7.
Les facteurs communs sont 2, 3 et 7, avec les plus petits exposants : PGCD(84 ; 126) = 2 × 3 × 7 = 42.
On simplifie par 42 : 84126 = 42 × 242 × 3 = 23. La fraction 23 est irréductible, car 2 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
a) 91 = 7 × 13 et 143 = 11 × 13 : ils ont le diviseur commun 13, donc 91 et 143 ne sont pas premiers entre eux. Leur PGCD est 13.
b) 91 = 7 × 13 et 92 = 2² × 23 : les décompositions n'ont aucun facteur premier commun, donc PGCD(91 ; 92) = 1 : 91 et 92 sont premiers entre eux.
Remarque : deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux, car un diviseur commun aux deux diviserait aussi leur différence, qui vaut 1.

Les diviseurs communs à deux nombres sont exactement les diviseurs de leur PGCD : on commence donc par calculer PGCD(60 ; 84).
60 = 2² × 3 × 5 et 84 = 2² × 3 × 7. Facteurs communs : 2² et 3, donc PGCD(60 ; 84) = 4 × 3 = 12.
Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 : ce sont les diviseurs communs à 60 et 84.
Vérification : 60 = 12 × 5 et 84 = 12 × 7, et 5 et 7 sont premiers entre eux, ce qui confirme que 12 est bien le plus grand diviseur commun.

Le nombre de boîtes doit diviser à la fois 240 et 180 pour qu'il n'y ait pas de reste ; on veut le plus grand possible : c'est PGCD(240 ; 180).
240 = 2⁴ × 3 × 5 et 180 = 2² × 3² × 5. Facteurs communs avec les plus petits exposants : 2², 3 et 5. PGCD(240 ; 180) = 4 × 3 × 5 = 60.
Il peut donc réaliser au maximum 60 boîtes.
Composition : chaque boîte contient 240 ÷ 60 = 4 macarons et 180 ÷ 60 = 3 chouquettes. Vérification : 60 × 4 = 240 et 60 × 3 = 180, tout est utilisé.