Arithmétique — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 8 points à retenir et 5 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Diviseurs et multiples
Définition
Soient a et b deux nombres entiers naturels, avec b ≠ 0. On dit que b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b, ou encore que a est un multiple de b) lorsque la division euclidienne de a par b a pour reste 0.
Autrement dit : il existe un entier k tel que a = b × k.
Autrement dit : il existe un entier k tel que a = b × k.
PropriétéCritères de divisibilité
Un nombre entier est divisible :
- par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
- par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
- par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
- par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
- par 10 s'il se termine par 0.
2. Nombres premiers
Définition
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Les premiers nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Les premiers nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Propriété
- 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur).
- 2 est le seul nombre premier pair.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
3. Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près).
4. Fractions irréductibles
Définition
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On dit alors que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
5. PGCD et diviseurs communs
Définition
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.
Propriété
Les diviseurs communs à deux nombres sont exactement les diviseurs de leur PGCD.
Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Savoir si un nombre est premier
On teste la divisibilité du nombre par les nombres premiers successifs 2, 3, 5, 7, 11… On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse le nombre étudié. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
Méthode 2Décomposer un nombre
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir 1. On écrit ensuite le produit de tous les diviseurs utilisés, en regroupant les facteurs identiques sous forme de puissances.
Méthode 3Rendre une fraction irréductible
1. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
2. On simplifie par tous les facteurs communs.
2. On simplifie par tous les facteurs communs.
Méthode 4Calculer un PGCD par décomposition
On décompose les deux nombres en produits de facteurs premiers. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun pris avec le plus petit exposant qui apparaît.
Méthode 5Résoudre un problème de partage
Quand on veut répartir plusieurs quantités en lots identiques sans reste (« le plus grand nombre de lots », « des lots contenant tous le même nombre d'objets »), on cherche un diviseur commun, souvent le PGCD. Le nombre de lots maximal est le PGCD ; la composition de chaque lot s'obtient en divisant chaque quantité par le PGCD.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés