Arithmétique — cours de 3e
Diviseurs et multiples, Nombres premiers, Décomposition en produit de facteurs premiers, Fractions irréductibles Lecture ≈ 5 min.
1. Diviseurs et multiples
Définition
Soient a et b deux nombres entiers naturels, avec b ≠ 0. On dit que b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b, ou encore que a est un multiple de b) lorsque la division euclidienne de a par b a pour reste 0.
Autrement dit : il existe un entier k tel que a = b × k.
Soient a et b deux nombres entiers naturels, avec b ≠ 0. On dit que b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b, ou encore que a est un multiple de b) lorsque la division euclidienne de a par b a pour reste 0.
Autrement dit : il existe un entier k tel que a = b × k.
Exemple
84 = 12 × 7, donc 12 et 7 sont des diviseurs de 84, et 84 est un multiple de 12 et de 7.
La liste de tous les diviseurs de 84 est : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84.
84 = 12 × 7, donc 12 et 7 sont des diviseurs de 84, et 84 est un multiple de 12 et de 7.
La liste de tous les diviseurs de 84 est : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84.
Propriété – Critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible :
Un nombre entier est divisible :
- par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
- par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
- par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
- par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
- par 10 s'il se termine par 0.
Exemple
4 572 : somme des chiffres 4 + 5 + 7 + 2 = 18, divisible par 9, donc 4 572 est divisible par 9 (et par 3). Il se termine par 2, donc il est divisible par 2. Les deux derniers chiffres forment 72 = 4 × 18, donc 4 572 est divisible par 4.
4 572 : somme des chiffres 4 + 5 + 7 + 2 = 18, divisible par 9, donc 4 572 est divisible par 9 (et par 3). Il se termine par 2, donc il est divisible par 2. Les deux derniers chiffres forment 72 = 4 × 18, donc 4 572 est divisible par 4.
2. Nombres premiers
Définition
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Les premiers nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Les premiers nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Propriété
- 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur).
- 2 est le seul nombre premier pair.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
Méthode – Savoir si un nombre est premier
On teste la divisibilité du nombre par les nombres premiers successifs 2, 3, 5, 7, 11… On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse le nombre étudié. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
On teste la divisibilité du nombre par les nombres premiers successifs 2, 3, 5, 7, 11… On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse le nombre étudié. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
Exemple
Le nombre 97 est-il premier ? On teste : 97 n'est pas divisible par 2 (impair), ni par 3 (9 + 7 = 16), ni par 5, ni par 7 (7 × 13 = 91, 7 × 14 = 98). Or 112 = 121 > 97, on peut s'arrêter. 97 est premier.
Le nombre 97 est-il premier ? On teste : 97 n'est pas divisible par 2 (impair), ni par 3 (9 + 7 = 16), ni par 5, ni par 7 (7 × 13 = 91, 7 × 14 = 98). Or 112 = 121 > 97, on peut s'arrêter. 97 est premier.
3. Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près).
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près).
Méthode – Décomposer un nombre
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir 1. On écrit ensuite le produit de tous les diviseurs utilisés, en regroupant les facteurs identiques sous forme de puissances.
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à obtenir 1. On écrit ensuite le produit de tous les diviseurs utilisés, en regroupant les facteurs identiques sous forme de puissances.
Exemple résolu
Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
Donc 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 23 × 32 × 5.
Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Exemple résolu
Décomposer 1 001. Il est impair, non divisible par 3 (1 + 0 + 0 + 1 = 2), ni par 5. Par 7 : 1 001 = 7 × 143. Puis 143 = 11 × 13.
Donc 1 001 = 7 × 11 × 13
Décomposer 1 001. Il est impair, non divisible par 3 (1 + 0 + 0 + 1 = 2), ni par 5. Par 7 : 1 001 = 7 × 143. Puis 143 = 11 × 13.
Donc 1 001 = 7 × 11 × 13
4. Fractions irréductibles
Définition
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On dit alors que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On dit alors que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Méthode – Rendre une fraction irréductible
1. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
2. On simplifie par tous les facteurs communs.
1. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
2. On simplifie par tous les facteurs communs.
Exemple résolu
Rendre irréductible la fraction 252360.
252 = 22 × 32 × 7 et 360 = 23 × 32 × 5.
252360 = 22 × 32 × 723 × 32 × 5 = 72 × 5 = 710.
Rendre irréductible la fraction 252360.
252 = 22 × 32 × 7 et 360 = 23 × 32 × 5.
252360 = 22 × 32 × 723 × 32 × 5 = 72 × 5 = 710.
5. PGCD et diviseurs communs
Définition
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.
Méthode – Calculer un PGCD par décomposition
On décompose les deux nombres en produits de facteurs premiers. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun pris avec le plus petit exposant qui apparaît.
On décompose les deux nombres en produits de facteurs premiers. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun pris avec le plus petit exposant qui apparaît.
Exemple résolu
PGCD(252 ; 360) ?
252 = 22 × 32 × 7 ; 360 = 23 × 32 × 5.
Facteurs communs : 2 (plus petit exposant 2) et 3 (plus petit exposant 2).
PGCD(252 ; 360) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36.
Vérification : 252 = 36 × 7 et 360 = 36 × 10, et 7 et 10 sont premiers entre eux.
PGCD(252 ; 360) ?
252 = 22 × 32 × 7 ; 360 = 23 × 32 × 5.
Facteurs communs : 2 (plus petit exposant 2) et 3 (plus petit exposant 2).
PGCD(252 ; 360) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36.
Vérification : 252 = 36 × 7 et 360 = 36 × 10, et 7 et 10 sont premiers entre eux.
Propriété
Les diviseurs communs à deux nombres sont exactement les diviseurs de leur PGCD.
Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
Les diviseurs communs à deux nombres sont exactement les diviseurs de leur PGCD.
Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
6. Problèmes de partage
Méthode – Résoudre un problème de partage
Quand on veut répartir plusieurs quantités en lots identiques sans reste (« le plus grand nombre de lots », « des lots contenant tous le même nombre d'objets »), on cherche un diviseur commun, souvent le PGCD. Le nombre de lots maximal est le PGCD ; la composition de chaque lot s'obtient en divisant chaque quantité par le PGCD.
Quand on veut répartir plusieurs quantités en lots identiques sans reste (« le plus grand nombre de lots », « des lots contenant tous le même nombre d'objets »), on cherche un diviseur commun, souvent le PGCD. Le nombre de lots maximal est le PGCD ; la composition de chaque lot s'obtient en divisant chaque quantité par le PGCD.
Exemple résolu (type brevet)
Un fleuriste dispose de 90 roses et 126 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Quel est le nombre maximal de bouquets ? Quelle est la composition de chaque bouquet ?
90 = 2 × 32 × 5 ; 126 = 2 × 32 × 7.
PGCD(90 ; 126) = 2 × 32 = 18.
Il peut faire au maximum 18 bouquets, chacun composé de 90 ÷ 18 = 5 roses et 126 ÷ 18 = 7 tulipes.
Un fleuriste dispose de 90 roses et 126 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs. Quel est le nombre maximal de bouquets ? Quelle est la composition de chaque bouquet ?
90 = 2 × 32 × 5 ; 126 = 2 × 32 × 7.
PGCD(90 ; 126) = 2 × 32 = 18.
Il peut faire au maximum 18 bouquets, chacun composé de 90 ÷ 18 = 5 roses et 126 ÷ 18 = 7 tulipes.