Exercices corrigés — Vecteurs et repérage dans l'espace (Terminale)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

ABCDEFGH est un cube : ABCD est la face inférieure, EFGH la face supérieure, avec E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C et H au-dessus de D. Exprimer en fonction de AB, AD et AE les vecteurs AC, BH, EC et AI, où I est le centre de la face EFGH.

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Correction détaillée

on décompose chaque vecteur avec la relation de Chasles en ne parcourant que des arêtes du cube, puis on remplace chaque arête par le vecteur de base qui lui est égal : les arêtes parallèles et de même sens portent le même vecteur (BC = AD, CG = AE, DH = AE, EG = AC…).
AC = AB + BC = AB + AD (diagonale de la face inférieure).
BH = BA + AD + DH = −AB + AD + AE (grande diagonale du cube).
EC = EA + AB + BC = −AE + AB + AD.
I est le milieu de [EG], donc EI = (12)EG = (12)(AB + AD). Ainsi AI = AE + EI = (12)AB + (12)AD + AE. Dans le repère (A ; AB, AD, AE), le point I a pour coordonnées (12 ; 12 ; 1).

Exercice 2 Découverte

Dans un repère, A(2 ; −1 ; 4), B(−2 ; 3 ; 0). Déterminer le milieu I de [AB] et les coordonnées de AB.

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Correction détaillée

les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités : I(2 + (−2)2 ; −1 + 32 ; 4 + 02), donc I(0 ; 1 ; 2).
Les coordonnées de AB sont celles de l'arrivée moins celles du départ : AB = (−2 − 2 ; 3 − (−1) ; 0 − 4) = (−4 ; 4 ; −4).
Vérification : AI = (0 − 2 ; 1 + 1 ; 2 − 4) = (−2 ; 2 ; −2) = (12)AB, ce qui confirme que I est bien le milieu de [AB].

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