Vecteurs et repérage dans l'espace — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Vecteurs de l'espace
Définition
Dans l'espace, le vecteur AB est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme AB. Les règles de calcul vectoriel du plan restent valables : relation de Chasles, somme, opposé et multiplication par un réel.
Relations fondamentales
AB + BC = AC ; AB = −BA ; AA = 0.
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que u = λv.
Combinaison linéaire et coplanarité
Le vecteur w est une combinaison linéaire de u et v s'il existe des réels a et b tels que w = au + bv. Trois vecteurs u, v, w sont coplanaires s'il existe des réels α, β, γ, non tous nuls, tels que αu + βv + γw = 0. Lorsque u et v ne sont pas colinéaires, cela équivaut à écrire w = au + bv.
2. Bases et repères de l'espace
Définitions
Une base de l'espace est un triplet (i, j, k) de vecteurs non coplanaires. Tout vecteur u s'écrit alors de manière unique :
u = xi + yj + zk.
Le triplet (x ; y ; z) forme les coordonnées de u. Un repère de l'espace est un quadruplet (O ; i, j, k). Les coordonnées d'un point M sont celles de OM.
Calcul coordonné
Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), alors :
- AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA) ;
- u + v et λu se calculent coordonnée par coordonnée ;
- le milieu I de [AB] a pour coordonnées (xA + xB2 ; yA + yB2 ; zA + zB2).
3. Coplanarité de points et de vecteurs
Critère
Les points A, B, C, D, avec A, B, C non alignés, sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels a, b tels que :
AD = aAB + bAC.
4. Représentation paramétrique d'une droite
Théorème
La droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur non nul u(a ; b ; c) est l'ensemble des points M(x ; y ; z) tels qu'il existe t ∈ ℝ vérifiant :
x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Tester la colinéarité
Pour u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z'), chercher un même réel λ tel que x = λx', y = λy' et z = λz'. Les « produits en croix » isolés sont risqués en présence de coordonnées nulles : vérifier les trois égalités.
Méthode 2Méthode par système
Calculer les trois vecteurs, poser l'égalité précédente puis identifier les coordonnées. On obtient trois équations pour deux inconnues. Résoudre deux équations et vérifier impérativement la troisième.
Méthode 3Erreurs fréquentes
- Confondre les coordonnées du point A avec celles du vecteur directeur.
- Dans AB, calculer « A moins B » : c'est toujours arrivée moins départ, donc B moins A.
- Déclarer trois vecteurs coplanaires après avoir résolu seulement deux des trois équations.
- Employer le même paramètre pour deux droites lors d'une recherche d'intersection ; utiliser deux paramètres, par exemple t et s.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés