Exercices corrigés — Vecteurs et repérage dans l'espace (Terminale)

trois points sont alignés si et seulement si deux vecteurs qu'ils définissent sont colinéaires. AB = (3 − 1 ; 2 − (−2) ; −1 − 3) = (2 ; 4 ; −4) et AC = (−2 − 1 ; −8 − (−2) ; 9 − 3) = (−3 ; −6 ; 6).
Cherchons un réel λ tel que AC = λAB. Les trois coordonnées donnent −3 = 2λ, −6 = 4λ et 6 = −4λ, soit λ = −32 dans les trois cas. Donc AC = −(32)AB : les vecteurs sont colinéaires et les points A, B, C sont alignés.
Comme λ est négatif, C et B sont de part et d'autre de A sur la droite (AB).

trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres. u et v ne sont pas colinéaires (21 ≠ −32), on cherche donc des réels a, b tels que w = au + bv.
Coordonnée par coordonnée : 2a + b = 5 ; −3a + 2b = −4 ; a + 4b = 6.
De la première, b = 5 − 2a. Dans la deuxième : −3a + 10 − 4a = −4, soit −7a = −14, donc a = 2 et b = 1.
Il faut impérativement vérifier la troisième équation, qui n'a pas servi : a + 4b = 2 + 4 = 6, c'est exact. Donc w = 2u + v : les trois vecteurs sont coplanaires.