Question 1

Dans un repère de l'espace, A(1;2;3) et B(4;0;5). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

Accepted Answer

(3;−2;2). On calcule B − A : (4−1 ; 0−2 ; 5−3) = (3;−2;2).

Question 2

Trois vecteurs non coplanaires de l'espace forment nécessairement :

Accepted Answer

une base de l'espace. Trois vecteurs non coplanaires sont indépendants et engendrent tout l'espace : ils en forment une base.

Question 3

A(1;−1;2) et B(3;5;0). Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [AB] ?

Accepted Answer

(2;2;1). Le milieu a pour coordonnées les moyennes : ((1+3)/2 ; (−1+5)/2 ; (2+0)/2) = (2;2;1).

Question 4

Les vecteurs u(1;2;−1) et v(−2;−4;2) sont :

Accepted Answer

colinéaires. On a v = −2u, donc les deux vecteurs sont colinéaires.

Question 5

u(2;−1;3) et v(−1;4;0). Quelles sont les coordonnées du vecteur u + v ?

Accepted Answer

(1;3;3). On additionne coordonnée par coordonnée : (2−1 ; −1+4 ; 3+0) = (1;3;3).

Question 6

Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires.

Accepted Answer

Vrai. Les quatre points appartiennent à un même plan exactement quand les trois vecteurs issus de A le sont aussi.

Question 7

Trois vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires.

Accepted Answer

Faux. Deux vecteurs sont toujours coplanaires, mais trois vecteurs peuvent former une base de l'espace, donc être non coplanaires.

Question 8

Quelle est la norme du vecteur u(2;−1;2) dans un repère orthonormé ?

Accepted Answer

3. ‖u‖ = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3.

Question 9

Dans un repère orthonormé, A(1;2;3) et B(7;5;5). Quelle est la distance AB ?

Accepted Answer

7. AB = √(6² + 3² + 2²) = √49 = 7.

Question 10

Pour quelle valeur de k les vecteurs u(3;k;−6) et v(1;2;−2) sont-ils colinéaires ?

Accepted Answer

6. Il faut u = 3v, donc k = 3 × 2 = 6, et l'on vérifie bien −6 = 3 × (−2).

Quiz — Vecteurs et repérage dans l'espace (Terminale)

Dans un repère de l'espace, A(1;2;3) et B(4;0;5). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?